Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e identificar a função que vamos analisar. A função dada é:
com o domínio .
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com cálculo diferencial, focando em derivadas para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, construir o gráfico da função.
O que vamos precisar: Conhecimentos sobre derivadas, interpretação de gráficos, propriedades das funções trigonométricas e lineares.

Passo 2

a) Encontrar o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem
Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos encontrar a derivada de :
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
No domínio , é positiva, então:
Portanto, há um ponto crítico em .

Passo 3

b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem
Para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal da derivada .
Sabemos que:
No domínio , é sempre maior que 1 e aumenta à medida que se aproxima de .
  • Quando : Função está crescendo.
  • Quando : Função está decrescendo.
No ponto crítico :
  • Para , .
  • Para , .
Portanto:
  • Crescimento:
  • Decrescimento:

Passo 4

c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem
Usando os resultados do passo anterior:
  • A função muda de crescente para decrescente em .
Isso indica um ponto de máximo.
Para encontrar a coordenada , substituímos na função :
Logo, há um ponto máximo em .

Passo 5

d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem
Concavidade está relacionada à segunda derivada da função. Vamos encontrar :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Agora, analisamos o sinal de :
  • Quando : Concavidade para cima.
  • Quando : Concavidade para baixo.
No domínio :
  • e .
Portanto, a função é concava para baixo em todo o domínio .

Passo 6

e) Ponto(s) de inflexão, se existirem
Ponto de inflexão ocorre onde a concavidade muda, ou seja, onde ou a segunda derivada não existe.
No nosso caso:
Dentro do domínio , e são sempre positivos, então nunca muda de sinal.
Logo, não há pontos de inflexão na função.

Passo 7

f) Assíntota(s), se existirem
Assíntotas podem ser verticais, horizontais ou oblíquas.
Assíntota Vertical:
A função tem assíntotas verticais em . No nosso domínio , há uma assíntota vertical em .
Assíntota Horizontal:
Vamos verificar o limite de quando tende a :
Sabemos que tende a , então:
Não há assíntota horizontal.
Assíntota Oblíqua:
Verificamos se a função se aproxima a uma reta do tipo quando tende ao infinito ou a algum ponto. No nosso caso, não se aplica no domínio dado.
Portanto, a única assíntota é vertical em .

Passo 8

g) Construir o gráfico
Com todas as informações obtidas:
  • Domínio:
  • Ponto crítico: com máximo em
  • Intervalo de Crescimento:
  • Intervalo de Decrescimento:
  • Concavidade: Para baixo em todo o domínio
  • Assíntota Vertical:
Passos para desenhar o gráfico:
  1. Desenhe os eixos coordenados.
  2. Marque a assíntota vertical em .
  3. Plote o ponto máximo em .
  4. Indique que a função cresce até e decresce após esse ponto.
  5. Mostre que a função é concava para baixo em todo o domínio.
  6. Adicione o comportamento próximo à assíntota, onde a função tende a conforme se aproxima de .
Observação: Para um gráfico mais preciso, você pode calcular mais pontos substituindo valores de na função .

Resposta

Após analisar a função no domínio :
  • Ponto crítico: com um ponto máximo em .
  • Intervalos de crescimento: .
  • Intervalos de decrescimento: .
  • Concavidade: A função é concava para baixo em todo o domínio.
  • Ponto de inflexão: Não existem pontos de inflexão.
  • Assíntotas: Assíntota vertical em .
  • Gráfico: Representa uma curva que cresce até , atinge um máximo e depois decresce, aproximando-se de conforme se aproxima de , com concavidade para baixo.

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Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.