Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
.
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e identificar a função que vamos analisar. A função dada é:
com o domínio
.
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com cálculo diferencial, focando em derivadas para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, construir o gráfico da função.
O que vamos precisar: Conhecimentos sobre derivadas, interpretação de gráficos, propriedades das funções trigonométricas e lineares.
Passo 2
a) Encontrar o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem
Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos encontrar a derivada de
:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
No domínio
,
é positiva, então:
Portanto, há um ponto crítico em
.
Passo 3
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem
Para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal da derivada
.
Sabemos que:
No domínio
,
é sempre maior que 1 e aumenta à medida que
se aproxima de
.
- Quando
: Função está crescendo. - Quando
: Função está decrescendo.
No ponto crítico
:
- Para
, . - Para
, .
Portanto:
- Crescimento:
- Decrescimento:
Passo 4
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem
Usando os resultados do passo anterior:
- A função muda de crescente para decrescente em
.
Isso indica um ponto de máximo.
Para encontrar a coordenada
, substituímos
na função
:
Logo, há um ponto máximo em
.
Passo 5
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem
Concavidade está relacionada à segunda derivada da função. Vamos encontrar
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Agora, analisamos o sinal de
:
- Quando
: Concavidade para cima. - Quando
: Concavidade para baixo.
No domínio
:
-
e .
Portanto, a função é concava para baixo em todo o domínio
.
Passo 6
e) Ponto(s) de inflexão, se existirem
Ponto de inflexão ocorre onde a concavidade muda, ou seja, onde
ou a segunda derivada não existe.
No nosso caso:
Dentro do domínio
,
e
são sempre positivos, então
nunca muda de sinal.
Logo, não há pontos de inflexão na função.
Passo 7
f) Assíntota(s), se existirem
Assíntotas podem ser verticais, horizontais ou oblíquas.
Assíntota Vertical:
A função
tem assíntotas verticais em
. No nosso domínio
, há uma assíntota vertical em
.
Assíntota Horizontal:
Vamos verificar o limite de
quando
tende a
:
Sabemos que
tende a
, então:
Não há assíntota horizontal.
Assíntota Oblíqua:
Verificamos se a função se aproxima a uma reta do tipo
quando
tende ao infinito ou a algum ponto. No nosso caso, não se aplica no domínio dado.
Portanto, a única assíntota é vertical em
.
Passo 8
g) Construir o gráfico
Com todas as informações obtidas:
- Domínio:
- Ponto crítico:
com máximo em - Intervalo de Crescimento:
- Intervalo de Decrescimento:
- Concavidade: Para baixo em todo o domínio
- Assíntota Vertical:
Passos para desenhar o gráfico:
- Desenhe os eixos coordenados.
- Marque a assíntota vertical em
. - Plote o ponto máximo em
. - Indique que a função cresce até
e decresce após esse ponto. - Mostre que a função é concava para baixo em todo o domínio.
- Adicione o comportamento próximo à assíntota, onde a função tende a
conforme se aproxima de .
Observação: Para um gráfico mais preciso, você pode calcular mais pontos substituindo valores de
na função
.
Resposta
Após analisar a função
no domínio
:
- Ponto crítico:
com um ponto máximo em . - Intervalos de crescimento:
. - Intervalos de decrescimento:
. - Concavidade: A função é concava para baixo em todo o domínio.
- Ponto de inflexão: Não existem pontos de inflexão.
- Assíntotas: Assíntota vertical em
. - Gráfico: Representa uma curva que cresce até
, atinge um máximo e depois decresce, aproximando-se de conforme se aproxima de , com concavidade para baixo.
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a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
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a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
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b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
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b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.