Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
. O que a gente precisa fazer é encontrar os pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, desenhar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar usar derivadas e entender um pouco sobre o comportamento das funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos ocorrem onde a primeira derivada da função é zero ou não existe. Então, vamos calcular a primeira derivada de
.
A derivada de
em relação a
é
. Aplicando isso:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde a primeira derivada é zero para identificar os pontos críticos:
Podemos fatorar
:
Sabemos que
nunca é zero, então a solução vem de:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Vamos agora identificar os intervalos de crescimento e decrescimento utilizando a primeira derivada.
- Se
, a função está crescendo. - Se
, a função está decrescendo.
Lembrando que encontrarmos
, que foi fatorado como
.
Vamos analisar os sinais:
-
Para
: Escolha, por exemplo, . -
Para
: Escolha, por exemplo, .
Passo 5
Com base nos intervalos de crescimento e decrescimento, podemos determinar os pontos máximos e mínimos.
- Em
, a derivada muda de negativa para positiva, o que indica um mínimo.
Vamos calcular o valor de
:
Então, o mínimo é
.
Passo 6
Agora, vamos analisar a concavidade da função usando a segunda derivada. A segunda derivada nos diz se a função está “curvada para cima” ou “para baixo”.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Vamos encontrar onde
:
Como
, então:
Passo 7
Determinar os intervalos de concavidade:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Analisando
:
-
Para
: Escolha, por exemplo, . -
Para
: Escolha, por exemplo, .
Passo 8
Encontrar os pontos de inflexão onde a concavidade muda.
A concavidade muda em
. Vamos calcular o valor de
:
Então, o ponto de inflexão é
.
Passo 9
Agora, vamos verificar se existem alguma assíntota.
Para funções exponenciais como
, geralmente temos:
- Assíntota horizontal: O limite quando
tende a . - Assíntota vertical: Não há, pois
está definido para todo .
Calculando o limite de
quando
:
Então, há uma assíntota horizontal em
.
Passo 10
Por fim, vamos construir o gráfico da função
.
Resumo das características:
- Domínio: Todos os reais.
- Ponto crítico:
com mínimo em . - Crescimento: Para
. - Decrescimento: Para
. - Concavidade:
- Para
: Concava para baixo. - Para
: Concava para cima.
- Para
- Ponto de inflexão:
. - Assíntota horizontal:
.
Com esses pontos e comportamentos, você pode desenhar o gráfico da função, marcando os pontos críticos, pontos de inflexão, e aproximando-se da assíntota horizontal.
Resposta
A função
possui:
a) Ponto crítico em
.
b) Cresce para
e decresce para
.
c) Mínimo em
.
d) Concavidade para baixo em
e concavidade para cima em
.
e) Ponto de inflexão em
.
f) Assíntota horizontal em
.
g) O gráfico da função se apresenta com as características mencionadas, incluindo o ponto mínimo, ponto de inflexão, e aproxima-se da assíntota horizontal
.
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d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
.
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
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d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
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a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
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g) Construa o gráfico.
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c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
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