Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função . O que a gente precisa fazer é encontrar os pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, desenhar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar usar derivadas e entender um pouco sobre o comportamento das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos ocorrem onde a primeira derivada da função é zero ou não existe. Então, vamos calcular a primeira derivada de .
A derivada de em relação a é . Aplicando isso:

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde a primeira derivada é zero para identificar os pontos críticos:
Podemos fatorar :
Sabemos que nunca é zero, então a solução vem de:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Vamos agora identificar os intervalos de crescimento e decrescimento utilizando a primeira derivada.
  • Se , a função está crescendo.
  • Se , a função está decrescendo.
Lembrando que encontrarmos , que foi fatorado como .
Vamos analisar os sinais:
  1. Para : Escolha, por exemplo, .
  2. Para : Escolha, por exemplo, .

Passo 5

Com base nos intervalos de crescimento e decrescimento, podemos determinar os pontos máximos e mínimos.
  • Em , a derivada muda de negativa para positiva, o que indica um mínimo.
Vamos calcular o valor de :
Então, o mínimo é .

Passo 6

Agora, vamos analisar a concavidade da função usando a segunda derivada. A segunda derivada nos diz se a função está “curvada para cima” ou “para baixo”.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Vamos encontrar onde :
Como , então:

Passo 7

Determinar os intervalos de concavidade:
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Analisando :
  1. Para : Escolha, por exemplo, .
  2. Para : Escolha, por exemplo, .

Passo 8

Encontrar os pontos de inflexão onde a concavidade muda.
A concavidade muda em . Vamos calcular o valor de :
Então, o ponto de inflexão é .

Passo 9

Agora, vamos verificar se existem alguma assíntota.
Para funções exponenciais como , geralmente temos:
  • Assíntota horizontal: O limite quando tende a .
  • Assíntota vertical: Não há, pois está definido para todo .
Calculando o limite de quando :
Então, há uma assíntota horizontal em .

Passo 10

Por fim, vamos construir o gráfico da função .
Resumo das características:
  • Domínio: Todos os reais.
  • Ponto crítico: com mínimo em .
  • Crescimento: Para .
  • Decrescimento: Para .
  • Concavidade:
    • Para : Concava para baixo.
    • Para : Concava para cima.
  • Ponto de inflexão: .
  • Assíntota horizontal: .
Com esses pontos e comportamentos, você pode desenhar o gráfico da função, marcando os pontos críticos, pontos de inflexão, e aproximando-se da assíntota horizontal.

Resposta

A função possui:
a) Ponto crítico em .
b) Cresce para e decresce para .
c) Mínimo em .
d) Concavidade para baixo em e concavidade para cima em .
e) Ponto de inflexão em .
f) Assíntota horizontal em .
g) O gráfico da função se apresenta com as características mencionadas, incluindo o ponto mínimo, ponto de inflexão, e aproxima-se da assíntota horizontal .

Exercícios relacionados

Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
.
Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.