Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função
. O que a gente vai fazer aqui envolve cálculo, mais especificamente derivadas, para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e até esboçar o gráfico. Vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas, analisar sinais e entender um pouco sobre concavidade e assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. A função logarítmica
só existe quando
. Então, temos:
Resolvendo para
:
Então, o domínio da função é
entre -2 e 2.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada para encontrar os pontos críticos. A derivada de
é:
Passo 4
Para achar os pontos críticos, igualamos a primeira derivada a zero:
O numerador deve ser zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 5
Vamos agora determinar os intervalos de crescimento e decrescimento analisando o sinal da primeira derivada
.
-
Para
: Então, a função está crescente nesse intervalo. -
Para
: Então, a função está decrescente nesse intervalo.
Passo 6
Com os intervalos de crescimento e decrescimento, podemos identificar os pontos máximos e mínimos.
Como a função está crescendo antes de
e decrescendo depois,
é um ponto de máximo.
Calculando
:
Então, o ponto máximo é
.
Passo 7
Vamos calcular a segunda derivada para analisar a concavidade e encontrar pontos de inflexão.
Primeiro, derivamos
:
Passo 8
Para determinar a concavidade, analisamos o sinal da segunda derivada
:
O denominador é sempre positivo, então o sinal depende do numerador:
Então, a função é concava para baixo em todo o domínio. Não há intervalos de concavidade para cima.
Passo 9
Como a concavidade não muda, não há pontos de inflexão.
Passo 10
Vamos identificar as assíntotas da função
.
As assíntotas verticais ocorrem quando o argumento do logaritmo se aproxima de zero. Então:
Portanto, há assíntotas verticais em
e
.
Não há assíntotas horizontais, pois o logaritmo tende a infinito conforme se aproxima das assíntotas verticais.
Passo 11
Vamos esboçar o gráfico da função com as informações obtidas:
- Domínio:
- Ponto máximo:
- Crescente em
e decrescente em - Concavidade: concava para baixo em todo o domínio
- Assíntotas verticais:
e
O gráfico ter�� uma forma de “sela” máxima no centro e se aproxima das assíntotas verticais conforme
se aproxima de 2 e -2.
Resposta
Os pontos críticos estão em
, com um ponto máximo em
. A função é crescente no intervalo
e decrescente em
. A concavidade é para baixo em todo o domínio
, não havendo pontos de inflexão. Existem assíntotas verticais em
e
. O gráfico apresenta uma máxima no centro e se aproxima das assíntotas verticais conforme
se afasta de 0 dentro do domínio.
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Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
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a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
.
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
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g) Construa o gráfico.