Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função . O que a gente vai fazer aqui envolve cálculo, mais especificamente derivadas, para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e até esboçar o gráfico. Vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas, analisar sinais e entender um pouco sobre concavidade e assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. A função logarítmica só existe quando . Então, temos:
Resolvendo para :
Então, o domínio da função é entre -2 e 2.

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada para encontrar os pontos críticos. A derivada de é:

Passo 4

Para achar os pontos críticos, igualamos a primeira derivada a zero:
O numerador deve ser zero:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 5

Vamos agora determinar os intervalos de crescimento e decrescimento analisando o sinal da primeira derivada .
  • Para :
    Então, a função está crescente nesse intervalo.
  • Para :
    Então, a função está decrescente nesse intervalo.

Passo 6

Com os intervalos de crescimento e decrescimento, podemos identificar os pontos máximos e mínimos.
Como a função está crescendo antes de e decrescendo depois, é um ponto de máximo.
Calculando :
Então, o ponto máximo é .

Passo 7

Vamos calcular a segunda derivada para analisar a concavidade e encontrar pontos de inflexão.
Primeiro, derivamos :

Passo 8

Para determinar a concavidade, analisamos o sinal da segunda derivada :
O denominador é sempre positivo, então o sinal depende do numerador:
Então, a função é concava para baixo em todo o domínio. Não há intervalos de concavidade para cima.

Passo 9

Como a concavidade não muda, não há pontos de inflexão.

Passo 10

Vamos identificar as assíntotas da função .
As assíntotas verticais ocorrem quando o argumento do logaritmo se aproxima de zero. Então:
Portanto, há assíntotas verticais em e .
Não há assíntotas horizontais, pois o logaritmo tende a infinito conforme se aproxima das assíntotas verticais.

Passo 11

Vamos esboçar o gráfico da função com as informações obtidas:
  • Domínio:
  • Ponto máximo:
  • Crescente em e decrescente em
  • Concavidade: concava para baixo em todo o domínio
  • Assíntotas verticais: e
O gráfico ter�� uma forma de “sela” máxima no centro e se aproxima das assíntotas verticais conforme se aproxima de 2 e -2.

Resposta

Os pontos críticos estão em , com um ponto máximo em . A função é crescente no intervalo e decrescente em . A concavidade é para baixo em todo o domínio , não havendo pontos de inflexão. Existem assíntotas verticais em e . O gráfico apresenta uma máxima no centro e se aproxima das assíntotas verticais conforme se afasta de 0 dentro do domínio.

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Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
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Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.