Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
f(x) = x^3 + x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a função em vários aspectos, como pontos críticos, intervalos de crescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e até construir o gráfico. Para isso, vamos usar cálculos de derivadas, que é uma parte da matemática que nos ajuda a entender como uma função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função, que nos ajuda a identificar os pontos onde a inclinação da função é zero (pontos críticos). A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, resolvendo :
Vemos que não há solução real para , pois o quadrado de um número real não pode ser negativo. Isso significa que não existem pontos críticos para essa função.

Passo 4

Como não temos pontos críticos, vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento olhando o sinal da derivada primeira .
Sabemos que é sempre positivo ou zero, então será sempre maior que zero:
Isso significa que a função está sempre crescente em todo o seu domínio.

Passo 5

Como a função está sempre crescendo e não tem pontos críticos, ela não possui máximos nem mínimos locais.

Passo 6

Vamos agora encontrar a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função:

Passo 7

Para determinar os intervalos de concavidade, analisamos o sinal da segunda derivada :
  • Quando (ou seja, ), a concavidade é para cima.
  • Quando (ou seja, ), a concavidade é para baixo.
Portanto:
  • Concavidade para cima:
  • Concavidade para baixo:

Passo 8

Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, que são os pontos onde a concavidade muda. Isso ocorre onde a segunda derivada é zero ou não existe:
Então, o ponto de inflexão é quando . Para encontrar a coordenada y:
Portanto, o ponto de inflexão é .

Passo 9

Vamos verificar as assíntotas da função . As assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca. Elas podem ser verticais, horizontais ou oblíquas.
Para funções polinomiais como essa, que têm grau 3, não há assíntotas verticais ou horizontais. No entanto, podemos verificar a assíntota oblíqua (ou inclinada) observando o comportamento quando tende ao infinito.
Dividindo por (já que o grau do polinômio é 3):
Como o limite tende ao infinito, não existem assíntotas oblíquas para essa função.

Passo 10

Por fim, vamos construir o gráfico da função :
  • Crescimento: A função está sempre crescendo.
  • Concavidade: Está para cima quando e para baixo quando .
  • Ponto de inflexão: , onde a concavidade muda.
  • Sem máximos ou mínimos.
  • Sem assíntotas.
O gráfico será uma curva que passa pela origem, subindo à medida que aumenta e descendo à medida que diminui, com uma mudança na concavidade no ponto .

Resposta

a) Não há pontos críticos.
b) A função cresce em todo .
c) Não há máximos nem mínimos.
d) Concavidade para baixo em e para cima em .
e) O ponto de inflexão é .
f) Não há assíntotas.
g) O gráfico é uma curva cúbica que passa pela origem, sempre crescente, com concavidade mudando no ponto e sem assíntotas.

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