Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
h(x) = (4 - x^2)^5

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a função . Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, construir o gráfico da função. Vamos precisar calcular primeiras e segundas derivadas e entender o comportamento da função com base nelas.

Passo 2

a) Encontrar o(s) ponto(s) crítico(s)
Pontos críticos são onde a primeira derivada da função é zero ou não existe. Vamos calcular a primeira derivada de .
Primeira derivada:
Agora, igualamos a zero:
Isso ocorre quando:
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 3

b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento
Vamos analisar o sinal da primeira derivada nos intervalos definidos pelos pontos críticos , e .
  • Intervalo :
    Escolha :
    Crescente.
  • Intervalo :
    Escolha :
    Crescente.
  • Intervalo :
    Escolha :
    Decrescente.
  • Intervalo :
    Escolha :
    Decrescente.

Passo 4

c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s)
Vamos usar a análise dos intervalos de crescimento e decrescimento:
  • Em :
    A derivada passa de positiva para positiva, então não há máximo ou mínimo.
  • Em :
    A derivada passa de positiva para negativa, indicando um máximo em .
  • Em :
    A derivada passa de negativa para negativa, então não há máximo ou mínimo.

Passo 5

d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo
Para determinar a concavidade, precisamos da segunda derivada .
Calculando a segunda derivada:
Agora, analisamos o sinal de :
  • Quando (ou seja, ):
    O termo é positivo.
    Então, a concavidade depende de :
    • Para : → Concavidade para baixo.
    • Para : → Concavidade para cima.
  • Quando (ou seja, ):
    O termo é negativo.
    E para , então:

Passo 6

e) Ponto(s) inflexão
Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Analisando :
  • Mudança de concavidade em e .
Verificando:
  • Em : Mudança de concavidade de para baixo para para cima.
  • Em : A função pode ter pontos de inflexão, mas como é definida para todos os valores reais, esses pontos também são pontos de inflexão.
Então, os pontos de inflexão são e .

Passo 7

f) Assíntota(s)
Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca ou cruza. Vamos verificar as possíveis assíntotas da função .
Como a função é um polinômio (pois expande para um polinômio), não possui assíntotas verticais ou horizontais.

Passo 8

g) Construir o gráfico
Com todas as informações obtidas:
  • Pontos críticos em , , . Máximo em .
  • Crescimento em e .
  • Decrescimento em e .
  • Concavidade para baixo em e , e para cima em .
  • Pontos de inflexão em e .
  • Sem assíntotas.
Com esses dados, podemos esboçar o gráfico, identificando os comportamentos nos intervalos e pontos críticos.

Resposta

A função apresenta pontos críticos em , e , com um máximo local em . Cresce nos intervalos e , e decresce em e . Possui concavidade para baixo em e , e para cima em . Os pontos de inflexão estão em e . Não há assíntotas. O gráfico reflete esses comportamentos, com a forma simétrica característica de uma função par elevada a uma potência ímpar.

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