Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a função
. Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, construir o gráfico da função. Vamos precisar calcular primeiras e segundas derivadas e entender o comportamento da função com base nelas.
Passo 2
a) Encontrar o(s) ponto(s) crítico(s)
Pontos críticos são onde a primeira derivada da função é zero ou não existe. Vamos calcular a primeira derivada de
.
Primeira derivada:
Agora, igualamos
a zero:
Isso ocorre quando:
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 3
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento
Vamos analisar o sinal da primeira derivada
nos intervalos definidos pelos pontos críticos
,
e
.
-
Intervalo
:
Escolha: Crescente. -
Intervalo
:
Escolha: Crescente. -
Intervalo
:
Escolha: Decrescente. -
Intervalo
:
Escolha: Decrescente.
Passo 4
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s)
Vamos usar a análise dos intervalos de crescimento e decrescimento:
-
Em
:
A derivada passa de positiva para positiva, então não há máximo ou mínimo. -
Em
:
A derivada passa de positiva para negativa, indicando um máximo em. -
Em
:
A derivada passa de negativa para negativa, então não há máximo ou mínimo.
Passo 5
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo
Para determinar a concavidade, precisamos da segunda derivada
.
Calculando a segunda derivada:
Agora, analisamos o sinal de
:
-
Quando
(ou seja, ):
O termoé positivo. Então, a concavidade depende de: - Para
: → Concavidade para baixo. - Para
: → Concavidade para cima.
- Para
-
Quando
(ou seja, ):
O termoé negativo. Epara , então:
Passo 6
e) Ponto(s) inflexão
Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Analisando
:
- Mudança de concavidade em
e .
Verificando:
- Em
: Mudança de concavidade de para baixo para para cima. - Em
: A função pode ter pontos de inflexão, mas como é definida para todos os valores reais, esses pontos também são pontos de inflexão.
Então, os pontos de inflexão são
e
.
Passo 7
f) Assíntota(s)
Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca ou cruza. Vamos verificar as possíveis assíntotas da função
.
Como a função é um polinômio (pois
expande para um polinômio), não possui assíntotas verticais ou horizontais.
Passo 8
g) Construir o gráfico
Com todas as informações obtidas:
- Pontos críticos em
, , . Máximo em . - Crescimento em
e . - Decrescimento em
e . - Concavidade para baixo em
e , e para cima em . - Pontos de inflexão em
e . - Sem assíntotas.
Com esses dados, podemos esboçar o gráfico, identificando os comportamentos nos intervalos e pontos críticos.
Resposta
A função
apresenta pontos críticos em
,
e
, com um máximo local em
. Cresce nos intervalos
e
, e decresce em
e
. Possui concavidade para baixo em
e
, e para cima em
. Os pontos de inflexão estão em
e
. Não há assíntotas. O gráfico reflete esses comportamentos, com a forma simétrica característica de uma função par elevada a uma potência ímpar.