Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai analisar a função
. O que a gente vai fazer aqui envolve cálculo, mais especificamente derivadas. Precisamos encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, esboçar o gráfico da função. Para tudo isso, vamos usar a derivada da função e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Ponto crítico é onde a derivada da função é zero ou não existe. Como nossa função
é um polinômio, que é suave e contínuo em todo lugar, a derivada sempre existe. Então, vamos calcular a derivada e igualar a zero.
A derivada de
em relação a
é:
Agora, igualamos a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 3
Agora que temos os pontos críticos, vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Isso vai nos ajudar a entender onde a função está aumentando ou diminuindo.
Para isso, vamos olhar o sinal da derivada
.
Simplificando:
Sabemos que
é sempre positivo. Então, o sinal de
depende de
:
- Se
, ou seja, , então → função está crescendo. - Se
, ou seja, , então → função está decrescendo.
Passo 4
Com base nisso, podemos definir os intervalos de crescimento e decrescimento:
- Crescimento: quando
e - Decrescimento: quando
Passo 5
Agora, vamos encontrar os pontos máximos e mínimos usando o teste da derivada primeira. Sabemos que:
- Se a derivada muda de positiva para negativa em um ponto crítico, temos um máximo local.
- Se muda de negativa para positiva, temos um mínimo local.
Vamos analisar em
e
:
-
Em
: - Para valores menores que -1,
(crescente) - Para valores entre -1 e 1,
(decrescente) - Então, a derivada muda de positiva para negativa → máximo local.
- Para valores menores que -1,
-
Em
: - Para valores entre -1 e 1,
(decrescente) - Para valores maiores que 1,
(crescente) - Então, a derivada muda de negativa para positiva → mínimo local.
- Para valores entre -1 e 1,
Passo 6
Vamos agora determinar a concavidade da função. Para isso, precisamos da segunda derivada
.
Calculando a segunda derivada:
A concavidade depende do sinal de
:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, é côncava para baixo.
Passo 7
Vamos identificar os intervalos de concavidade:
Analisando
:
- Quando
, → concavidade para cima. - Quando
, → concavidade para baixo.
Passo 8
Os pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Vamos resolver
:
Portanto,
é um ponto de inflexão.
Passo 9
Agora, vamos verificar se existem assíntotas na função
.
Como essa é uma função polinomial de grau 5, que cresce para
quando
tende a
e para
quando
tende a
, ela não tem assíntotas horizontais, verticais ou oblíquas.
Passo 10
Vamos juntar todas as informações para a resposta final.
Resposta
a) Pontos críticos:
e
b) Intervalos de Crescimento:
e
Intervalos de Decrescimento:
c) Máximo local em
e mínimo local em
d) Concavidade para baixo:
Concavidade para cima:
e) Ponto de inflexão em
f) Assíntotas: Não possui
g) Gráfico: O gráfico da função
apresenta um máximo local em
, um mínimo local em
, e um ponto de inflexão em
. A função cresce para os valores de
menores que -1 e maiores que 1, e decresce entre -1 e 1. Não possui assíntotas e sua concavidade muda no ponto de inflexão.