Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
f(x) = x^5 - 5x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai analisar a função . O que a gente vai fazer aqui envolve cálculo, mais especificamente derivadas. Precisamos encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, esboçar o gráfico da função. Para tudo isso, vamos usar a derivada da função e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Ponto crítico é onde a derivada da função é zero ou não existe. Como nossa função é um polinômio, que é suave e contínuo em todo lugar, a derivada sempre existe. Então, vamos calcular a derivada e igualar a zero.
A derivada de em relação a é:
Agora, igualamos a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 3

Agora que temos os pontos críticos, vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Isso vai nos ajudar a entender onde a função está aumentando ou diminuindo.
Para isso, vamos olhar o sinal da derivada .
Simplificando:
Sabemos que é sempre positivo. Então, o sinal de depende de :
  • Se , ou seja, , então → função está crescendo.
  • Se , ou seja, , então → função está decrescendo.

Passo 4

Com base nisso, podemos definir os intervalos de crescimento e decrescimento:
  • Crescimento: quando e
  • Decrescimento: quando

Passo 5

Agora, vamos encontrar os pontos máximos e mínimos usando o teste da derivada primeira. Sabemos que:
  • Se a derivada muda de positiva para negativa em um ponto crítico, temos um máximo local.
  • Se muda de negativa para positiva, temos um mínimo local.
Vamos analisar em e :
  • Em :
    • Para valores menores que -1, (crescente)
    • Para valores entre -1 e 1, (decrescente)
    • Então, a derivada muda de positiva para negativa → máximo local.
  • Em :
    • Para valores entre -1 e 1, (decrescente)
    • Para valores maiores que 1, (crescente)
    • Então, a derivada muda de negativa para positiva → mínimo local.

Passo 6

Vamos agora determinar a concavidade da função. Para isso, precisamos da segunda derivada .
Calculando a segunda derivada:
A concavidade depende do sinal de :
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , é côncava para baixo.

Passo 7

Vamos identificar os intervalos de concavidade:
Analisando :
  • Quando , → concavidade para cima.
  • Quando , → concavidade para baixo.

Passo 8

Os pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Vamos resolver :
Portanto, é um ponto de inflexão.

Passo 9

Agora, vamos verificar se existem assíntotas na função .
Como essa é uma função polinomial de grau 5, que cresce para quando tende a e para quando tende a , ela não tem assíntotas horizontais, verticais ou oblíquas.

Passo 10

Vamos juntar todas as informações para a resposta final.

Resposta

a) Pontos críticos: e
b) Intervalos de Crescimento: e
Intervalos de Decrescimento:
c) Máximo local em e mínimo local em
d) Concavidade para baixo:
Concavidade para cima:
e) Ponto de inflexão em
f) Assíntotas: Não possui
g) Gráfico: O gráfico da função apresenta um máximo local em , um mínimo local em , e um ponto de inflexão em . A função cresce para os valores de menores que -1 e maiores que 1, e decresce entre -1 e 1. Não possui assíntotas e sua concavidade muda no ponto de inflexão.

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