Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem a função
e precisamos responder várias questões sobre ela, como encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e até construir o gráfico. Para resolver tudo isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar os cálculos. A função dada é
. Sabemos que
, então podemos reescrever a função como:
Agora, vamos multiplicar os termos:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular a primeira derivada da função
e igualá-la a zero. A primeira derivada nos mostra onde a função tem inclinações horizontais, ou seja, onde a taxa de variação é zero.
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Usando a regra do poder:
Para simplificar:
Passo 4
Agora, vamos igualar a primeira derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Podemos multiplicar ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Resolvendo para
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 5
Para determinar se esse ponto crítico é um ponto de máximo, mínimo ou ponto de inflexão, vamos usar a segunda derivada. Primeiro, encontramos a segunda derivada de
:
Derivando cada termo:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos avaliar a segunda derivada no ponto crítico
:
Como
, isso significa que a função é côncava para cima nesse ponto, indicando que
é um ponto de mínimo.
Passo 7
Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Lembrando que a função cresce onde a primeira derivada é positiva e decresce onde ela é negativa.
Temos a primeira derivada:
Fatorando
:
Então, o sinal de
depende do sinal de
.
- Para
, , então : Função está crescendo. - Para
, , então : Função está decrescendo.
Passo 8
Vamos agora identificar os intervalos de concavidade. A concavidade é determinada pelo sinal da segunda derivada:
Vemos que para
,
. Portanto, a função é côncava para cima em todo o seu domínio.
Como a concavidade não muda de sinal, não há pontos de inflexão.
Passo 9
Quanto às assíntotas, vamos analisar o comportamento da função quando
tende a 0 e ao infinito.
-
Quando
: Como, . Não há assíntota vertical. -
Quando
: O termo dominante é, que tende ao infinito. Não há assíntota horizontal ou oblíqua.
Passo 10
Por fim, vamos resumir todas as informações para construir o gráfico da função
:
- Domínio:
- Ponto crítico:
(mínimo) - Intervalos de crescimento:
- Intervalos de decrescimento:
- Concavidade: Côncava para cima em todo o domínio
- Sem pontos de inflexão
- Sem assíntotas
Resposta
A função
possui um ponto crítico em
, que é um ponto de mínimo. Ela decresce no intervalo
e cresce em
. A função é côncava para cima em todo o seu domínio, não possui pontos de inflexão nem assíntotas. O gráfico apresenta um mínimo em
e cresce para ambos os lados desse ponto.