Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
h(x) = (x - 3) * raiz(x)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem a função e precisamos responder várias questões sobre ela, como encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e até construir o gráfico. Para resolver tudo isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar os cálculos. A função dada é . Sabemos que , então podemos reescrever a função como:
Agora, vamos multiplicar os termos:

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular a primeira derivada da função e igualá-la a zero. A primeira derivada nos mostra onde a função tem inclinações horizontais, ou seja, onde a taxa de variação é zero.
Primeiro, encontramos a derivada de :
Usando a regra do poder:
Para simplificar:

Passo 4

Agora, vamos igualar a primeira derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Podemos multiplicar ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Resolvendo para :
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 5

Para determinar se esse ponto crítico é um ponto de máximo, mínimo ou ponto de inflexão, vamos usar a segunda derivada. Primeiro, encontramos a segunda derivada de :
Derivando cada termo:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos avaliar a segunda derivada no ponto crítico :
Como , isso significa que a função é côncava para cima nesse ponto, indicando que é um ponto de mínimo.

Passo 7

Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Lembrando que a função cresce onde a primeira derivada é positiva e decresce onde ela é negativa.
Temos a primeira derivada:
Fatorando :
Então, o sinal de depende do sinal de .
  • Para , , então : Função está crescendo.
  • Para , , então : Função está decrescendo.

Passo 8

Vamos agora identificar os intervalos de concavidade. A concavidade é determinada pelo sinal da segunda derivada:
Vemos que para , . Portanto, a função é côncava para cima em todo o seu domínio.
Como a concavidade não muda de sinal, não há pontos de inflexão.

Passo 9

Quanto às assíntotas, vamos analisar o comportamento da função quando tende a 0 e ao infinito.
  • Quando :
    Como , . Não há assíntota vertical.
  • Quando :
    O termo dominante é , que tende ao infinito. Não há assíntota horizontal ou oblíqua.

Passo 10

Por fim, vamos resumir todas as informações para construir o gráfico da função :
  • Domínio:
  • Ponto crítico: (mínimo)
  • Intervalos de crescimento:
  • Intervalos de decrescimento:
  • Concavidade: Côncava para cima em todo o domínio
  • Sem pontos de inflexão
  • Sem assíntotas

Resposta

A função possui um ponto crítico em , que é um ponto de mínimo. Ela decresce no intervalo e cresce em . A função é côncava para cima em todo o seu domínio, não possui pontos de inflexão nem assíntotas. O gráfico apresenta um mínimo em e cresce para ambos os lados desse ponto.

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