Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
f(x) = 2 - 15 x + 9 x^2 - x^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício sobre a função . A gente vai analisar diferentes características dessa função, como pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, construir o gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas.

Passo 2

a) Encontrar o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem.
Primeiro, pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos encontrar a primeira derivada de .
Agora, igualamos a derivada a zero para achar os pontos críticos:
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por -3:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, temos dois pontos críticos:

Passo 3

b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem.
Para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal da primeira derivada .
Os pontos críticos dividem a reta real em intervalos. Temos os pontos e .
Vamos testar um valor em cada intervalo:
  1. Intervalo : Escolha
  2. Intervalo : Escolha
  3. Intervalo : Escolha

Passo 4

c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem.
Os pontos críticos podem ser máximos ou mínimos. Usamos o teste da primeira derivada para determinar isso:
  • No :
    A derivada muda de negativa para positiva quando passa por , indicando um mínimo local.
  • No :
    A derivada muda de positiva para negativa quando passa por , indicando um máximo local.
Para encontrar as coordenadas, substituímos na função original:
  • Mínimo em :
    Então, o ponto mínimo é .
  • Máximo em :
    Então, o ponto máximo é .

Passo 5

d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem.
Para analisar a concavidade, vamos calcular a segunda derivada da função:
Agora, determinamos onde é positiva ou negativa:

Passo 6

e) Ponto(s) inflexão, se existirem.
Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada é zero ou não existe.
Igualamos a zero:
Agora, verificamos se há mudança de concavidade em :
  • Para , (concavidade para cima)
  • Para , (concavidade para baixo)
Como há mudança, é um ponto de inflexão.
Calculando a coordenada y:
Portanto, o ponto de inflexão é .

Passo 7

f) Assíntota(s), se existirem.
Assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca. Para polinômios como , não existem assíntotas horizontais ou verticais, pois elas são definidas para funções racionais onde o denominador pode se anular ou para funções de limite que tendem ao infinito de forma particular. Como nosso polinômio é definido para todo e não possui divisão por zero ou comportamento assintótico, não existem assíntotas.

Passo 8

g) Construir o gráfico.
Com todas as informações coletadas, podemos esboçar o gráfico da função :
  1. Pontos Críticos:
    • Mínimo em
    • Máximo em
  2. Ponto de Inflexão:
  3. Comportamento nos Intervalos:
    • Decrescente para
    • Crescente para
    • Decrescente para
  4. Concavidade:
    • Concava para cima quando
    • Concava para baixo quando
  5. Assíntotas:
    • Nenhuma
  6. Ponto de Interseção com o Y:
    • Quando : Então, o ponto é .
Com essas informações, o gráfico apresenta uma curva que desce até , onde atinge um mínimo, sobe até , atingindo um máximo, e depois desce novamente. Há uma inflexão em , onde a concavidade muda.

Resposta

A função possui pontos críticos em (mínimo em ) e (máximo em ). Ela está decrescente em e , e crescente em . A concavidade é para cima em e para baixo em , com ponto de inflexão em . Não há assíntotas. O gráfico apresenta esses pontos e comportamentos descritos, refletindo as características encontradas.

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