Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício sobre a função
. A gente vai analisar diferentes características dessa função, como pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, construir o gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas.
Passo 2
a) Encontrar o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem.
Primeiro, pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos encontrar a primeira derivada de
.
Agora, igualamos a derivada a zero para achar os pontos críticos:
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por -3:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, temos dois pontos críticos:
Passo 3
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem.
Para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal da primeira derivada
.
Os pontos críticos dividem a reta real em intervalos. Temos os pontos
e
.
Vamos testar um valor em cada intervalo:
-
Intervalo
: Escolha -
Intervalo
: Escolha -
Intervalo
: Escolha
Passo 4
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem.
Os pontos críticos podem ser máximos ou mínimos. Usamos o teste da primeira derivada para determinar isso:
-
No
:
A derivada muda de negativa para positiva quando passa por, indicando um mínimo local. -
No
:
A derivada muda de positiva para negativa quando passa por, indicando um máximo local.
Para encontrar as coordenadas, substituímos
na função original:
-
Mínimo em
: Então, o ponto mínimo é. -
Máximo em
: Então, o ponto máximo é.
Passo 5
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem.
Para analisar a concavidade, vamos calcular a segunda derivada da função:
Agora, determinamos onde
é positiva ou negativa:
Passo 6
e) Ponto(s) inflexão, se existirem.
Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada é zero ou não existe.
Igualamos
a zero:
Agora, verificamos se há mudança de concavidade em
:
- Para
, (concavidade para cima) - Para
, (concavidade para baixo)
Como há mudança,
é um ponto de inflexão.
Calculando a coordenada y:
Portanto, o ponto de inflexão é
.
Passo 7
f) Assíntota(s), se existirem.
Assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca. Para polinômios como
, não existem assíntotas horizontais ou verticais, pois elas são definidas para funções racionais onde o denominador pode se anular ou para funções de limite que tendem ao infinito de forma particular. Como nosso polinômio é definido para todo
e não possui divisão por zero ou comportamento assintótico, não existem assíntotas.
Passo 8
g) Construir o gráfico.
Com todas as informações coletadas, podemos esboçar o gráfico da função
:
-
Pontos Críticos:
- Mínimo em
- Máximo em
- Mínimo em
-
Ponto de Inflexão:
-
-
Comportamento nos Intervalos:
- Decrescente para
- Crescente para
- Decrescente para
- Decrescente para
-
Concavidade:
- Concava para cima quando
- Concava para baixo quando
- Concava para cima quando
-
Assíntotas:
- Nenhuma
-
Ponto de Interseção com o Y:
- Quando
: Então, o ponto é .
- Quando
Com essas informações, o gráfico apresenta uma curva que desce até
, onde atinge um mínimo, sobe até
, atingindo um máximo, e depois desce novamente. Há uma inflexão em
, onde a concavidade muda.
Resposta
A função
possui pontos críticos em
(mínimo em
) e
(máximo em
). Ela está decrescente em
e
, e crescente em
. A concavidade é para cima em
e para baixo em
, com ponto de inflexão em
. Não há assíntotas. O gráfico apresenta esses pontos e comportamentos descritos, refletindo as características encontradas.