Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
f(x) = x^2 / (x^2 + 4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a função e responder aos itens de a) a g). O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo diferencial, incluindo derivadas para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, esboçar o gráfico da função.

Passo 2

a) Encontrar o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe.
Vamos calcular a derivada de :
Usamos a regra do quociente:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Isso ocorre quando o numerador é zero:
Portanto, temos um ponto crítico em .

Passo 3

b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem
Para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal da derivada .
O denominador é sempre positivo, então o sinal de depende apenas do numerador .
  • Se , : função está crescendo.
  • Se , : função está decrescendo.
  • Em , : ponto crítico.
Então:
  • Cresce em
  • Decresce em

Passo 4

c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem
Para identificar se o ponto crítico em é máximo ou mínimo, podemos usar o teste da derivada primeira.
Sabemos que:
  • Para , (decrescendo).
  • Para , (crescendo).
Aqui, a função passa de decrescente para crescente em , indicando um mínimo relativo.
Calculamos :
Portanto, há um mínimo relativo em .

Passo 5

d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem
Para encontrar a concavidade, calculamos a segunda derivada .
Primeiro, derivamos :
Usando a regra do quociente novamente:
Simplificando:
Agora, analisamos onde é positiva ou negativa:
Denominador sempre positivo, então o sinal depende de :
  • : concavidade para cima.
  • : concavidade para baixo.
Então:
  • Concavidade para cima em
  • Concavidade para baixo em

Passo 6

e) Ponto(s) inflexão, se existirem
Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde ou não existe.
Resolvemos :
Portanto, há pontos de inflexão em e .
Calculamos nesses pontos:
O mesmo vale para . Então, os pontos de inflexão são e .

Passo 7

f) Assíntota(s), se existirem
Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca. Para funções racionais, examinamos assíntotas horizontais, verticais e oblíquas.
Nossa função é:
  • Assíntotas verticais: Ocorrem onde o denominador é zero. Resolvemos :
Não tem solução real, então não há assíntotas verticais.
  • Assíntotas horizontais: Olhamos para o limite quando tende a :
Então, há uma assíntota horizontal em .
  • Assíntotas oblíquas: Não existem porque os graus do numerador e denominador são iguais e já temos uma assíntota horizontal.
Portanto, a única assíntota é horizontal em .

Passo 8

g) Construir o gráfico
Com todas as informações anteriores, podemos esboçar o gráfico:
  • Domínio: Todos os reais, já que o denominador nunca é zero.
  • Assíntota horizontal: .
  • Ponto crítico: Mínimo em .
  • Crescimento: Cresce para , decresce para .
  • Concavidade: Para cima em , para baixo fora desse intervalo.
  • Pontos de inflexão: .
O gráfico será uma curva suave que toca o ponto de mínimo em (0,0), se aproxima da linha conforme tende a , e muda a concavidade nos pontos de inflexão mencionados.

Resposta

A função possui um ponto crítico em , está decrescendo em e crescendo em , tem um mínimo relativo em , é côncava para cima em e para baixo em , com pontos de inflexão em , possui uma assíntota horizontal em , e seu gráfico reflete essas características.

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