Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a função
e responder aos itens de a) a g). O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo diferencial, incluindo derivadas para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, esboçar o gráfico da função.
Passo 2
a) Encontrar o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe.
Vamos calcular a derivada de
:
Usamos a regra do quociente:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Isso ocorre quando o numerador é zero:
Portanto, temos um ponto crítico em
.
Passo 3
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem
Para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal da derivada
.
O denominador
é sempre positivo, então o sinal de
depende apenas do numerador
.
- Se
, ⇒ : função está crescendo. - Se
, ⇒ : função está decrescendo. - Em
, : ponto crítico.
Então:
- Cresce em
- Decresce em
Passo 4
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem
Para identificar se o ponto crítico em
é máximo ou mínimo, podemos usar o teste da derivada primeira.
Sabemos que:
- Para
, (decrescendo). - Para
, (crescendo).
Aqui, a função passa de decrescente para crescente em
, indicando um mínimo relativo.
Calculamos
:
Portanto, há um mínimo relativo em
.
Passo 5
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem
Para encontrar a concavidade, calculamos a segunda derivada
.
Primeiro, derivamos
:
Usando a regra do quociente novamente:
Simplificando:
Agora, analisamos onde
é positiva ou negativa:
Denominador sempre positivo, então o sinal depende de
:
-
: concavidade para cima. -
: concavidade para baixo.
Então:
- Concavidade para cima em
- Concavidade para baixo em
Passo 6
e) Ponto(s) inflexão, se existirem
Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde
ou não existe.
Resolvemos
:
Portanto, há pontos de inflexão em
e
.
Calculamos
nesses pontos:
O mesmo vale para
. Então, os pontos de inflexão são
e
.
Passo 7
f) Assíntota(s), se existirem
Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca. Para funções racionais, examinamos assíntotas horizontais, verticais e oblíquas.
Nossa função é:
- Assíntotas verticais: Ocorrem onde o denominador é zero. Resolvemos
:
Não tem solução real, então não há assíntotas verticais.
- Assíntotas horizontais: Olhamos para o limite quando
tende a :
Então, há uma assíntota horizontal em
.
- Assíntotas oblíquas: Não existem porque os graus do numerador e denominador são iguais e já temos uma assíntota horizontal.
Portanto, a única assíntota é horizontal em
.
Passo 8
g) Construir o gráfico
Com todas as informações anteriores, podemos esboçar o gráfico:
- Domínio: Todos os reais, já que o denominador nunca é zero.
- Assíntota horizontal:
. - Ponto crítico: Mínimo em
. - Crescimento: Cresce para
, decresce para . - Concavidade: Para cima em
, para baixo fora desse intervalo. - Pontos de inflexão:
.
O gráfico será uma curva suave que toca o ponto de mínimo em (0,0), se aproxima da linha
conforme
tende a
, e muda a concavidade nos pontos de inflexão mencionados.
Resposta
A função
possui um ponto crítico em
, está decrescendo em
e crescendo em
, tem um mínimo relativo em
, é côncava para cima em
e para baixo em
, com pontos de inflexão em
, possui uma assíntota horizontal em
, e seu gráfico reflete essas características.