Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício sobre a função
. Precisamos encontrar vários aspectos dessa função, como pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, desenhar o gráfico. Para isso, vamos usar cálculos de derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada
.
A derivada de uma função do tipo
é dada pela regra do quociente:
Onde
e
. Vamos calcular
e
:
Substituindo na fórmula da derivada:
Agora, igualamos
a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo:
Portanto, o único ponto crítico real é
.
Passo 3
Agora, vamos descobrir os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Isso é feito analisando o sinal da primeira derivada
.
Sabemos que:
O denominador
é sempre positivo, então o sinal de
depende apenas do numerador
.
Vamos analisar:
Como
e
para todo
, o numerador é sempre positivo. Assim,
para todo
, exceto em
onde é zero.
Portanto:
- A função é crescente em todo o seu domínio.
Passo 4
Vamos identificar agora os pontos de máximo e mínimo. Para isso, usamos a primeira derivada e os pontos críticos encontrados.
Já vimos que a única crítica é
. Vamos verificar o comportamento da função nesse ponto.
Como a derivada é positiva em todos os lados de
e igual a zero somente em
, isso indica que a função não tem máximo nem mínimo local nesse ponto. Na verdade,
é um ponto de inflexão, mas confirmaremos isso no próximo passo.
Passo 5
Agora, vamos determinar os intervalos de concavidade e os possíveis pontos de inflexão. Para isso, precisamos da segunda derivada
.
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada a partir da primeira:
Vamos derivar isso usando a regra do quociente novamente:
Isso pode ser simplificado, mas para análise de sinal, vamos focar no numerador:
Após simplificar, encontramos:
Então:
Simplificando:
Agora, vamos analisar o sinal da segunda derivada:
Os pontos críticos para a concavidade são onde
ou não existe:
Vamos criar uma tabela de sinais para
:
- Para
: , → → Concavidade para cima - Para
: , → → Concavidade para baixo - Para
: , → → Concavidade para cima - Para
: , → → Concavidade para baixo
Passo 6
Com a análise da segunda derivada, podemos identificar os pontos de inflexão, que são os pontos onde a concavidade da função muda. Observamos que isso acontece em
,
e
.
Vamos verificar o comportamento nesses pontos:
- Em
: muda de concavidade para cima para para baixo. - Em
: muda de concavidade para baixo para para cima. - Em
: muda de concavidade para cima para para baixo.
Portanto, os pontos de inflexão são
,
e
.
Passo 7
Vamos agora identificar possíveis assíntotas da função
.
-
Assíntota Vertical: Ocorre onde o denominador é zero, a menos que o numerador também seja zero. Aqui,
não tem solução real, então não há assíntotas verticais. -
Assíntota Horizontal: Analisamos o limite quando
tende ao infinito:
Como tende ao infinito, não há assíntota horizontal.
- Assíntota Oblíqua: Para funções onde o grau do numerador é exatamente um a mais que o denominador, há uma assíntota oblíqua. Aqui, grau do numerador é 3 e do denominador é 2, então existe uma assíntota oblíqua.
Fazendo a divisão polinomial:
Portanto, a assíntota oblíqua é
.
Resposta
A função
apresenta:
a) Ponto crítico em
.
b) Intervalo de crescimento: toda a reta real
.
c) Não possui pontos de máximo ou mínimo locais.
d) Concavidade:
- Para
: para cima. - Para
: para baixo. - Para
: para cima. - Para
: para baixo.
e) Pontos de inflexão em
,
e
.
f) Assíntota oblíqua:
.
g) Gráfico: O gráfico da função é uma curva contínua sem assíntotas verticais ou horizontais, aproximando-se da linha
para valores grandes de
, com mudanças na concavidade nos pontos de inflexão identificados.