Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
g(x) = x^3 / (x^2 + 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício sobre a função . Precisamos encontrar vários aspectos dessa função, como pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, desenhar o gráfico. Para isso, vamos usar cálculos de derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada .
A derivada de uma função do tipo é dada pela regra do quociente:
Onde e . Vamos calcular e :
Substituindo na fórmula da derivada:
Agora, igualamos a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo:
ã
Portanto, o único ponto crítico real é .

Passo 3

Agora, vamos descobrir os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Isso é feito analisando o sinal da primeira derivada .
Sabemos que:
O denominador é sempre positivo, então o sinal de depende apenas do numerador .
Vamos analisar:
Como e para todo , o numerador é sempre positivo. Assim, para todo , exceto em onde é zero.
Portanto:
  • A função é crescente em todo o seu domínio.

Passo 4

Vamos identificar agora os pontos de máximo e mínimo. Para isso, usamos a primeira derivada e os pontos críticos encontrados.
Já vimos que a única crítica é . Vamos verificar o comportamento da função nesse ponto.
Como a derivada é positiva em todos os lados de e igual a zero somente em , isso indica que a função não tem máximo nem mínimo local nesse ponto. Na verdade, é um ponto de inflexão, mas confirmaremos isso no próximo passo.

Passo 5

Agora, vamos determinar os intervalos de concavidade e os possíveis pontos de inflexão. Para isso, precisamos da segunda derivada .
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada a partir da primeira:
Vamos derivar isso usando a regra do quociente novamente:
Isso pode ser simplificado, mas para análise de sinal, vamos focar no numerador:
Após simplificar, encontramos:
Então:
Simplificando:
Agora, vamos analisar o sinal da segunda derivada:
Os pontos críticos para a concavidade são onde ou não existe:
Vamos criar uma tabela de sinais para :
  • Para : , → Concavidade para cima
  • Para : , → Concavidade para baixo
  • Para : , → Concavidade para cima
  • Para : , → Concavidade para baixo

Passo 6

Com a análise da segunda derivada, podemos identificar os pontos de inflexão, que são os pontos onde a concavidade da função muda. Observamos que isso acontece em , e .
Vamos verificar o comportamento nesses pontos:
  • Em : muda de concavidade para cima para para baixo.
  • Em : muda de concavidade para baixo para para cima.
  • Em : muda de concavidade para cima para para baixo.
Portanto, os pontos de inflexão são , e .

Passo 7

Vamos agora identificar possíveis assíntotas da função .
  1. Assíntota Vertical: Ocorre onde o denominador é zero, a menos que o numerador também seja zero. Aqui, não tem solução real, então não há assíntotas verticais.
  2. Assíntota Horizontal: Analisamos o limite quando tende ao infinito:
Como tende ao infinito, não há assíntota horizontal.
  1. Assíntota Oblíqua: Para funções onde o grau do numerador é exatamente um a mais que o denominador, há uma assíntota oblíqua. Aqui, grau do numerador é 3 e do denominador é 2, então existe uma assíntota oblíqua.
Fazendo a divisão polinomial:
Portanto, a assíntota oblíqua é .

Resposta

A função apresenta:
a) Ponto crítico em .
b) Intervalo de crescimento: toda a reta real .
c) Não possui pontos de máximo ou mínimo locais.
d) Concavidade:
  • Para : para cima.
  • Para : para baixo.
  • Para : para cima.
  • Para : para baixo.
e) Pontos de inflexão em , e .
f) Assíntota oblíqua: .
g) Gráfico: O gráfico da função é uma curva contínua sem assíntotas verticais ou horizontais, aproximando-se da linha para valores grandes de , com mudanças na concavidade nos pontos de inflexão identificados.

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