Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
h(x) = 2 * raiz(x) - x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício sobre a função . O que precisamos fazer é encontrar os pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, desenhar o gráfico da função. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo como derivadas e análise de comportamento de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde a derivada da função é zero ou não existe. Para isso, precisamos calcular a derivada de .
A derivada de é:
Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 3

Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, analisamos o sinal da derivada :
  • Se , a função está crescendo.
  • Se , a função está decrescendo.
Considerando :
  1. Para : á
  2. Para : á
Portanto:
  • Cresce no intervalo
  • Decresce no intervalo

Passo 4

Vamos identificar agora os pontos máximo e mínimo. Sabemos que nos pontos críticos a função pode ter máximos ou mínimos locais.
Em :
  • Anteriormente vimos que a função passa de crescente para decrescente, o que indica um ponto máximo.
Vamos calcular o valor de :
Então, o ponto máximo local é .
Não há ponto mínimo local, já que a função tende a quando se aproxima de 0 e a quando tende a .

Passo 5

Agora, vamos analisar a concavidade da função. Para isso, precisamos da segunda derivada .
Calculando a segunda derivada:
A concavidade depende do sinal de :
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Como , é sempre negativo:
éí

Passo 6

Vamos verificar se existem pontos de inflexão. Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Como é sempre negativa para , não há mudança na concavidade. Portanto, não existem pontos de inflexão.

Passo 7

Agora, vamos identificar possíveis assíntotas da função .
  • Assíntota vertical: ocorre onde a função tende ao infinito devido a uma divisão por zero. No nosso caso, está definida para . Em :
    Não há comportamento assintótico.
  • Assíntota horizontal: ocorre quando tende ao infinito e a função tende a um valor constante. Calculando o limite:
    Não há assíntota horizontal.
  • Assíntota oblíqua: ocorre quando o limite de tende a um valor diferente de zero. Calculando:
    Como é um número constante, também não há assíntota oblíqua.
Portanto, não existem assíntotas para essa função.

Passo 8

Por fim, vamos construir o gráfico da função .
Sabemos que:
  • A função está definida para .
  • Tem um máximo local em .
  • É crescente no intervalo e decrescente em .
  • A concavidade é sempre para baixo.
  • Não possui assíntotas nem pontos de inflexão.
Passos para desenhar o gráfico:
  1. Marcar o domínio .
  2. Plotar o ponto máximo .
  3. Traçar a curva crescente de até .
  4. Traçar a curva decrescente a partir de para o infinito.
  5. Indicar que a concavidade é para baixo em todo o domínio.
O gráfico terá a forma de uma parábola invertida iniciando em , atingindo o ponto máximo em e descendo para conforme aumenta.

Resposta

A função possui um ponto crítico em , é crescente no intervalo e decrescente em . Possui um ponto máximo local em , é concava para baixo em todo o domínio, não possui pontos de inflexão nem assíntotas. O gráfico apresenta uma forma de parábola invertida começando em , atingindo o máximo em e descendo para à medida que cresce.

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