Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício sobre a função
. O que precisamos fazer é encontrar os pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, desenhar o gráfico da função. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo como derivadas e análise de comportamento de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde a derivada da função é zero ou não existe. Para isso, precisamos calcular a derivada de
.
A derivada de
é:
Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, analisamos o sinal da derivada
:
- Se
, a função está crescendo. - Se
, a função está decrescendo.
Considerando
:
- Para
: - Para
:
Portanto:
- Cresce no intervalo
- Decresce no intervalo
Passo 4
Vamos identificar agora os pontos máximo e mínimo. Sabemos que nos pontos críticos a função pode ter máximos ou mínimos locais.
Em
:
- Anteriormente vimos que a função passa de crescente para decrescente, o que indica um ponto máximo.
Vamos calcular o valor de
:
Então, o ponto máximo local é
.
Não há ponto mínimo local, já que a função tende a
quando
se aproxima de 0 e a
quando
tende a
.
Passo 5
Agora, vamos analisar a concavidade da função. Para isso, precisamos da segunda derivada
.
Calculando a segunda derivada:
A concavidade depende do sinal de
:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Como
,
é sempre negativo:
Passo 6
Vamos verificar se existem pontos de inflexão. Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Como
é sempre negativa para
, não há mudança na concavidade. Portanto, não existem pontos de inflexão.
Passo 7
Agora, vamos identificar possíveis assíntotas da função
.
-
Assíntota vertical: ocorre onde a função tende ao infinito devido a uma divisão por zero. No nosso caso,
está definida para . Em : Não há comportamento assintótico. -
Assíntota horizontal: ocorre quando
tende ao infinito e a função tende a um valor constante. Calculando o limite: Não há assíntota horizontal. -
Assíntota oblíqua: ocorre quando o limite de
tende a um valor diferente de zero. Calculando: Como é um número constante, também não há assíntota oblíqua.
Portanto, não existem assíntotas para essa função.
Passo 8
Por fim, vamos construir o gráfico da função
.
Sabemos que:
- A função está definida para
. - Tem um máximo local em
. - É crescente no intervalo
e decrescente em . - A concavidade é sempre para baixo.
- Não possui assíntotas nem pontos de inflexão.
Passos para desenhar o gráfico:
- Marcar o domínio
. - Plotar o ponto máximo
. - Traçar a curva crescente de
até . - Traçar a curva decrescente a partir de
para o infinito. - Indicar que a concavidade é para baixo em todo o domínio.
O gráfico terá a forma de uma parábola invertida iniciando em
, atingindo o ponto máximo em
e descendo para
conforme
aumenta.
Resposta
A função
possui um ponto crítico em
, é crescente no intervalo
e decrescente em
. Possui um ponto máximo local em
, é concava para baixo em todo o domínio, não possui pontos de inflexão nem assíntotas. O gráfico apresenta uma forma de parábola invertida começando em
, atingindo o máximo em
e descendo para
à medida que
cresce.