Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
h(x) = x - sen(x), 0 < x < pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver os itens sobre a função no intervalo . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente no estudo de funções e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar usar derivadas para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão e verificar se há assíntotas. Também vamos construir o gráfico da função no final.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender como a função está se comportando, ou seja, se está crescendo ou decrescendo.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são valores de onde a derivada é zero ou não existe. Como a derivada está definida para todo , vamos resolver :
No intervalo , isso ocorre apenas em e , mas como nosso intervalo é , não há pontos críticos dentro desse intervalo.

Passo 4

Como não encontramos pontos críticos no intervalo, isso significa que a função não tem máximos ou mínimos locais nesse intervalo. Agora, vamos verificar os intervalos de crescimento e decrescimento.
A derivada é sempre positiva porque varia entre -1 e 1. Então:
Isso indica que a função está sempre crescendo nesse intervalo.

Passo 5

Em seguida, vamos analisar a concavidade da função. Para isso, precisamos da segunda derivada de :
A segunda derivada nos diz se a função está côncava para cima ou para baixo.

Passo 6

Vamos encontrar os intervalos de concavidade:
  • quando , então a função é côncava para cima nesse intervalo.
  • Não há intervalo onde dentro de , então a função não é côncava para baixo nesse intervalo.

Passo 7

Agora, vamos verificar se há pontos de inflexão, que são pontos onde a concavidade da função muda. Observando , vemos que muda de positivo para negativo ou vice-versa apenas em , mas nosso intervalo é . Portanto, não há pontos de inflexão dentro desse intervalo.

Passo 8

Vamos verificar se a função tem assíntotas. Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca. Existem três tipos principais: horizontais, verticais e oblíquas.
Para :
  • Assíntotas verticais? Não, porque a função está bem definida para todo no intervalo.
  • Assíntotas horizontais? Não, porque cresce indefinidamente conforme aumenta, não se aproximando de uma constante.
  • Assíntotas oblíquas? Sim, pois o termo dominante é e o oscila entre -1 e 1. Então, à medida que cresce, se comporta praticamente como , sugerindo uma assíntota oblíqua na direção .

Passo 9

Por fim, vamos construir o gráfico da função no intervalo .
Sabemos que:
  • A função está sempre crescente.
  • Não há máximos ou mínimos locais.
  • A função é côncava para cima em todo o intervalo.
  • Não há pontos de inflexão.
  • Há uma assíntota oblíqua representada por .
Com essas informações, o gráfico será uma curva que começa em , aumenta suavemente, levemente acima da reta devido ao , e continua crescendo até .

Resposta

A função no intervalo não possui pontos críticos, está sempre crescendo, não tem máximos ou mínimos locais, é côncava para cima em todo o intervalo, não possui pontos de inflexão e tem uma assíntota oblíqua na direção . O gráfico da função reflete essas propriedades.

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