Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
.
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver os itens sobre a função
no intervalo
. Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente no estudo de funções e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar usar derivadas para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão e verificar se há assíntotas. Também vamos construir o gráfico da função no final.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender como a função está se comportando, ou seja, se está crescendo ou decrescendo.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são valores de
onde a derivada é zero ou não existe. Como a derivada
está definida para todo
, vamos resolver
:
No intervalo
, isso ocorre apenas em
e
, mas como nosso intervalo é
, não há pontos críticos dentro desse intervalo.
Passo 4
Como não encontramos pontos críticos no intervalo, isso significa que a função não tem máximos ou mínimos locais nesse intervalo. Agora, vamos verificar os intervalos de crescimento e decrescimento.
A derivada
é sempre positiva porque
varia entre -1 e 1. Então:
Isso indica que a função
está sempre crescendo nesse intervalo.
Passo 5
Em seguida, vamos analisar a concavidade da função. Para isso, precisamos da segunda derivada de
:
A segunda derivada nos diz se a função está côncava para cima ou para baixo.
Passo 6
Vamos encontrar os intervalos de concavidade:
-
quando , então a função é côncava para cima nesse intervalo. - Não há intervalo onde
dentro de , então a função não é côncava para baixo nesse intervalo.
Passo 7
Agora, vamos verificar se há pontos de inflexão, que são pontos onde a concavidade da função muda. Observando
, vemos que
muda de positivo para negativo ou vice-versa apenas em
, mas nosso intervalo é
. Portanto, não há pontos de inflexão dentro desse intervalo.
Passo 8
Vamos verificar se a função tem assíntotas. Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca. Existem três tipos principais: horizontais, verticais e oblíquas.
Para
:
- Assíntotas verticais? Não, porque a função está bem definida para todo
no intervalo. - Assíntotas horizontais? Não, porque
cresce indefinidamente conforme aumenta, não se aproximando de uma constante. - Assíntotas oblíquas? Sim, pois o termo dominante é
e o oscila entre -1 e 1. Então, à medida que cresce, se comporta praticamente como , sugerindo uma assíntota oblíqua na direção .
Passo 9
Por fim, vamos construir o gráfico da função
no intervalo
.
Sabemos que:
- A função está sempre crescente.
- Não há máximos ou mínimos locais.
- A função é côncava para cima em todo o intervalo.
- Não há pontos de inflexão.
- Há uma assíntota oblíqua representada por
.
Com essas informações, o gráfico será uma curva que começa em
, aumenta suavemente, levemente acima da reta
devido ao
, e continua crescendo até
.
Resposta
A função
no intervalo
não possui pontos críticos, está sempre crescendo, não tem máximos ou mínimos locais, é côncava para cima em todo o intervalo, não possui pontos de inflexão e tem uma assíntota oblíqua na direção
. O gráfico da função reflete essas propriedades.