Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisar a função
. A gente vai precisar usar cálculo, especialmente derivadas, para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, desenhar o gráfico. Vamos passo a passo!
Passo 2
a) Encontrar o(s) ponto(s) crítico(s)
Primeiro, pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos derivar
:
Agora, vamos igualar a derivada a zero:
Resolvendo para
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 3
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento
Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal da derivada
.
- Se
, a função está crescendo. - Se
, a função está decrescendo.
Vamos analisar os intervalos:
-
Para
:
porque
Então,→ Crescente. -
Para
:
porque
Então,→ Decrescente.
Passo 4
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s)
Sabemos que em
a derivada é zero. Para determinar se é máximo ou mínimo, podemos usar o teste da derivada primeira:
- Antes de
(digamos, ): → Decrescente. - Depois de
(digamos, ): → Crescente.
Mudança de decrescente para crescente indica um mínimo em
.
Calculando
:
Então, há um ponto mínimo em
.
Passo 5
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo
Para saber a concavidade, vamos derivar a segunda vez a função.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
- Se
, a concavidade é para cima. - Se
, a concavidade é para baixo.
Como
é sempre positiva para
:
A concavidade é sempre para cima em todo o domínio
.
Passo 6
e) Ponto(s) de inflexão
Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde
ou não existe.
No nosso caso,
é sempre positiva para
e nunca muda de sinal. Portanto, não há pontos de inflexão.
Passo 7
f) Assíntota(s)
Vamos analisar as assíntotas verticais e horizontais.
- Assíntota vertical: ocorre quando a função tende ao infinito em algum ponto do domínio.
Para
:
Há uma assíntota vertical em
.
- Assíntota horizontal: analisamos o limite quando
:
Não há assíntota horizontal.
Portanto, a única assíntota é a vertical em
.
Passo 8
g) Construir o gráfico
Vamos resumir o que encontramos para desenhar o gráfico:
- Dominio:
- Ponto mínimo em
- Cresce em
, decresce em - Concavidade para cima em todo
- Assíntota vertical em
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico da função
.
Resposta
Finalizando, a função
tem:
a) Ponto crítico em
.
b) Cresce em
e decresce em
.
c) Ponto mínimo em
.
d) Concavidade para cima em todo
.
e) Não possui pontos de inflexão.
f) Assíntota vertical em
.
g) O gráfico reflete essas características, com a função decrescendo até
, atingindo o mínimo em
, e crescendo para
, além de aproximar-se da vertical
.
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<html><head></head><body><div>Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:<br>
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,<br>
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,<br>
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,<br>
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,<br>
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,<br>
f) Assíntota(s), se existirem,<br>
g) Construa o gráfico.<br>
<span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -1.238ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“14.804ex” height=“3.607ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1047.1 6543.5 1594.2”><title>h(x) = cos(x) / (2 + sen(x))</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“210E” d=“M137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 685Q294 674 258 534Q220 386 220 383Q220 381 227 388Q288 442 357 442Q411 442 444 415T478 336Q478 285 440 178T402 50Q403 36 407 31T422 26Q450 26 474 56T513 138Q516 149 519 151T535 153Q555 153 555 145Q555 144 551 130Q535 71 500 33Q466 -10 419 -10H414Q367 -10 346 17T325 74Q325 90 361 192T398 345Q398 404 354 404H349Q266 404 205 306L198 293L164 158Q132 28 127 16Q114 -11 83 -11Q69 -11 59 -2T48 16Q48 30 121 320L195 616Q195 629 188 632T149 637H128Q122 643 122 645T124 664Q129 683 137 683Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” 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</body></html>
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,<br>
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,<br>
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,<br>
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,<br>
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,<br>
f) Assíntota(s), se existirem,<br>
g) Construa o gráfico.<br>
<span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -1.238ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“14.804ex” height=“3.607ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1047.1 6543.5 1594.2”><title>h(x) = cos(x) / (2 + sen(x))</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“210E” d=“M137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 685Q294 674 258 534Q220 386 220 383Q220 381 227 388Q288 442 357 442Q411 442 444 415T478 336Q478 285 440 178T402 50Q403 36 407 31T422 26Q450 26 474 56T513 138Q516 149 519 151T535 153Q555 153 555 145Q555 144 551 130Q535 71 500 33Q466 -10 419 -10H414Q367 -10 346 17T325 74Q325 90 361 192T398 345Q398 404 354 404H349Q266 404 205 306L198 293L164 158Q132 28 127 16Q114 -11 83 -11Q69 -11 59 -2T48 16Q48 30 121 320L195 616Q195 629 188 632T149 637H128Q122 643 122 645T124 664Q129 683 137 683Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” 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142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(3633,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g></g><rect width=“3044” height=“60” x=“120” y=“220”></rect></g></g></g></svg></mjx-container></span></div>
</body></html>
<html><head></head><body><div>Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:<br>
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,<br>
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,<br>
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,<br>
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,<br>
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,<br>
f) Assíntota(s), se existirem,<br>
g) Construa o gráfico.<br>
<span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“30.66ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 13551.8 1000”><title>h(x) = x - sen(x), 0 < x < pi</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“210E” d=“M137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 685Q294 674 258 534Q220 386 220 383Q220 381 227 388Q288 442 357 442Q411 442 444 415T478 336Q478 285 440 178T402 50Q403 36 407 31T422 26Q450 26 474 56T513 138Q516 149 519 151T535 153Q555 153 555 145Q555 144 551 130Q535 71 500 33Q466 -10 419 -10H414Q367 -10 346 17T325 74Q325 90 361 192T398 345Q398 404 354 404H349Q266 404 205 306L198 293L164 158Q132 28 127 16Q114 -11 83 -11Q69 -11 59 -2T48 16Q48 30 121 320L195 616Q195 629 188 632T149 637H128Q122 643 122 645T124 664Q129 683 137 683Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” 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data-mml-node=“mstyle” transform=“translate(8076,0)”><g data-mml-node=“mspace”></g></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(9242.7,0)”><path data-c=“30” d=“M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(10020.4,0)”><path data-c=“3C” d=“M694 -11T694 -19T688 -33T678 -40Q671 -40 524 29T234 166L90 235Q83 240 83 250Q83 261 91 266Q664 540 678 540Q681 540 687 534T694 519T687 505Q686 504 417 376L151 250L417 124Q686 -4 687 -5Q694 -11 694 -19Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(11076.2,0)”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 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81 318T62 297T53 285Q51 284 38 284Q19 284 19 294Q19 300 38 329T93 391T164 429Q171 431 389 431Q549 431 553 430Q573 423 573 402Q573 371 541 360Q535 358 472 358H408L405 341Q393 269 393 222Q393 170 402 129T421 65T431 37Q431 20 417 5T381 -10Q370 -10 363 -7T347 17T331 77Q330 86 330 121Q330 170 339 226T357 318T367 358H269L268 354Q268 351 249 275T206 114T175 17Q164 -11 132 -11Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>.</div>
</body></html>
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,<br>
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,<br>
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,<br>
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,<br>
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,<br>
f) Assíntota(s), se existirem,<br>
g) Construa o gráfico.<br>
<span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“30.66ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 13551.8 1000”><title>h(x) = x - sen(x), 0 < x < pi</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“210E” d=“M137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 685Q294 674 258 534Q220 386 220 383Q220 381 227 388Q288 442 357 442Q411 442 444 415T478 336Q478 285 440 178T402 50Q403 36 407 31T422 26Q450 26 474 56T513 138Q516 149 519 151T535 153Q555 153 555 145Q555 144 551 130Q535 71 500 33Q466 -10 419 -10H414Q367 -10 346 17T325 74Q325 90 361 192T398 345Q398 404 354 404H349Q266 404 205 306L198 293L164 158Q132 28 127 16Q114 -11 83 -11Q69 -11 59 -2T48 16Q48 30 121 320L195 616Q195 629 188 632T149 637H128Q122 643 122 645T124 664Q129 683 137 683Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” 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