Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisar a função
. A gente vai precisar usar cálculo, especialmente derivadas, para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, desenhar o gráfico. Vamos passo a passo!
Passo 2
a) Encontrar o(s) ponto(s) crítico(s)
Primeiro, pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos derivar
:
Agora, vamos igualar a derivada a zero:
Resolvendo para
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 3
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento
Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal da derivada
.
- Se
, a função está crescendo. - Se
, a função está decrescendo.
Vamos analisar os intervalos:
-
Para
:
porque
Então,→ Crescente. -
Para
:
porque
Então,→ Decrescente.
Passo 4
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s)
Sabemos que em
a derivada é zero. Para determinar se é máximo ou mínimo, podemos usar o teste da derivada primeira:
- Antes de
(digamos, ): → Decrescente. - Depois de
(digamos, ): → Crescente.
Mudança de decrescente para crescente indica um mínimo em
.
Calculando
:
Então, há um ponto mínimo em
.
Passo 5
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo
Para saber a concavidade, vamos derivar a segunda vez a função.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
- Se
, a concavidade é para cima. - Se
, a concavidade é para baixo.
Como
é sempre positiva para
:
A concavidade é sempre para cima em todo o domínio
.
Passo 6
e) Ponto(s) de inflexão
Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde
ou não existe.
No nosso caso,
é sempre positiva para
e nunca muda de sinal. Portanto, não há pontos de inflexão.
Passo 7
f) Assíntota(s)
Vamos analisar as assíntotas verticais e horizontais.
- Assíntota vertical: ocorre quando a função tende ao infinito em algum ponto do domínio.
Para
:
Há uma assíntota vertical em
.
- Assíntota horizontal: analisamos o limite quando
:
Não há assíntota horizontal.
Portanto, a única assíntota é a vertical em
.
Passo 8
g) Construir o gráfico
Vamos resumir o que encontramos para desenhar o gráfico:
- Dominio:
- Ponto mínimo em
- Cresce em
, decresce em - Concavidade para cima em todo
- Assíntota vertical em
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico da função
.
Resposta
Finalizando, a função
tem:
a) Ponto crítico em
.
b) Cresce em
e decresce em
.
c) Ponto mínimo em
.
d) Concavidade para cima em todo
.
e) Não possui pontos de inflexão.
f) Assíntota vertical em
.
g) O gráfico reflete essas características, com a função decrescendo até
, atingindo o mínimo em
, e crescendo para
, além de aproximar-se da vertical
.