Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
f(x) = x - ln(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisar a função . A gente vai precisar usar cálculo, especialmente derivadas, para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, desenhar o gráfico. Vamos passo a passo!

Passo 2

a) Encontrar o(s) ponto(s) crítico(s)
Primeiro, pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos derivar :
Agora, vamos igualar a derivada a zero:
Resolvendo para :
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 3

b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento
Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal da derivada .
  • Se , a função está crescendo.
  • Se , a função está decrescendo.
Vamos analisar os intervalos:
  1. Para :
    porque
    Então, → Crescente.
  2. Para :
    porque
    Então, → Decrescente.

Passo 4

c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s)
Sabemos que em a derivada é zero. Para determinar se é máximo ou mínimo, podemos usar o teste da derivada primeira:
  • Antes de (digamos, ): → Decrescente.
  • Depois de (digamos, ): → Crescente.
Mudança de decrescente para crescente indica um mínimo em .
Calculando :
Então, há um ponto mínimo em .

Passo 5

d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo
Para saber a concavidade, vamos derivar a segunda vez a função.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
  • Se , a concavidade é para cima.
  • Se , a concavidade é para baixo.
Como é sempre positiva para :
A concavidade é sempre para cima em todo o domínio .

Passo 6

e) Ponto(s) de inflexão
Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde ou não existe.
No nosso caso, é sempre positiva para e nunca muda de sinal. Portanto, não há pontos de inflexão.

Passo 7

f) Assíntota(s)
Vamos analisar as assíntotas verticais e horizontais.
  • Assíntota vertical: ocorre quando a função tende ao infinito em algum ponto do domínio.
Para :

, então
Há uma assíntota vertical em .
  • Assíntota horizontal: analisamos o limite quando :
Não há assíntota horizontal.
Portanto, a única assíntota é a vertical em .

Passo 8

g) Construir o gráfico
Vamos resumir o que encontramos para desenhar o gráfico:
  • Dominio:
  • Ponto mínimo em
  • Cresce em , decresce em
  • Concavidade para cima em todo
  • Assíntota vertical em
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico da função .

Resposta

Finalizando, a função tem:
a) Ponto crítico em .
b) Cresce em e decresce em .
c) Ponto mínimo em .
d) Concavidade para cima em todo .
e) Não possui pontos de inflexão.
f) Assíntota vertical em .
g) O gráfico reflete essas características, com a função decrescendo até , atingindo o mínimo em , e crescendo para , além de aproximar-se da vertical .

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