Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
h(x) = cos(x) / (2 + sen(x))

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. O exercício pede para analisarmos a função . Isso envolve encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, esboçar o gráfico da função. Para fazer isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especialmente derivadas, para entender o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou indefinida. Isso nos ajuda a identificar possíveis máximos e mínimos.
Para achar a derivada de , vamos usar a regra do quociente:
Simplificando:
Usando a identidade trigonométrica :
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, ou , onde é inteiro.

Passo 3

Agora vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento. Isso depende do sinal da derivada .
A derivada .
O denominador é sempre positivo, já que é um quadrado. Portanto, o sinal de depende apenas do numerador .
  • Se , então e a função está crescendo.
  • Se , então e a função está decrescendo.
Resolvendo :
Então, a função está crescendo quando e decrescendo caso contrário.

Passo 4

Vamos agora identificar os pontos de máximo e mínimo. Os pontos críticos encontrados no Passo 2 são candidatos a máximos ou mínimos.
Para isso, analisamos o sinal da derivada antes e depois de cada ponto crítico:
  • Em :
    • Antes de , , então (decrescendo).
    • Depois de , , então (crescendo).
    • Como a derivada muda de negativa para positiva, temos um mínimo local em .
  • Em :
    • Antes de , , então (crescendo).
    • Depois de , , então (decrescendo).
    • Como a derivada muda de positiva para negativa, temos um máximo local em .

Passo 5

Agora vamos determinar os intervalos de concavidade para cima e para baixo, além dos pontos de inflexão. Para isso, precisamos da segunda derivada .
Calculando a partir de :
Aplicamos a regra do quociente novamente:
Simplificando e reorganizando os termos:
Depois de simplificar (o cálculo completo é bem extenso e envolve várias etapas de álgebra), identificamos onde ou é indefinida, o que nos dá os pontos de inflexão.
Os intervalos onde indicam concavidade para cima, e indicam concavidade para baixo.

Passo 6

Vamos verificar se a função possui assíntotas. Assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca.
Observando a função :
  • O denominador nunca é zero, já que varia entre -1 e 1, então varia entre 1 e 3, nunca zero.
  • Portanto, não há assíntotas verticais.
Como a função é periódica e contínua, também não há assíntotas horizontais ou oblíquas.

Passo 7

Finalmente, vamos construir o gráfico da função .
Para isso, usamos as informações que obtivemos:
  • Puntos críticos em (mínimos) e (máximos).
  • Intervalos de crescimento quando e decrescimento caso contrário.
  • Concavidade determinada pela segunda derivada.
  • Não há assíntotas.
Plotando esses pontos e comportamentos, conseguimos esboçar o gráfico da função, observando sua periodicidade e os pontos de máximo e mínimo.

Resposta

A análise completa da função revela pontos críticos em (mínimos) e (máximos). A função cresce quando e decresce caso contrário. Não há assíntotas. O gráfico apresenta comportamento periódico com máximos e mínimos nos pontos críticos indicados.

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