Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. O exercício pede para analisarmos a função
. Isso envolve encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, esboçar o gráfico da função. Para fazer isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especialmente derivadas, para entender o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou indefinida. Isso nos ajuda a identificar possíveis máximos e mínimos.
Para achar a derivada de
, vamos usar a regra do quociente:
Simplificando:
Usando a identidade trigonométrica
:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Então,
ou
, onde
é inteiro.
Passo 3
Agora vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento. Isso depende do sinal da derivada
.
A derivada
.
O denominador
é sempre positivo, já que é um quadrado. Portanto, o sinal de
depende apenas do numerador
.
- Se
, então e a função está crescendo. - Se
, então e a função está decrescendo.
Resolvendo
:
Então, a função está crescendo quando
e decrescendo caso contrário.
Passo 4
Vamos agora identificar os pontos de máximo e mínimo. Os pontos críticos encontrados no Passo 2 são candidatos a máximos ou mínimos.
Para isso, analisamos o sinal da derivada antes e depois de cada ponto crítico:
-
Em
: - Antes de
, , então (decrescendo). - Depois de
, , então (crescendo). - Como a derivada muda de negativa para positiva, temos um mínimo local em
.
- Antes de
-
Em
: - Antes de
, , então (crescendo). - Depois de
, , então (decrescendo). - Como a derivada muda de positiva para negativa, temos um máximo local em
.
- Antes de
Passo 5
Agora vamos determinar os intervalos de concavidade para cima e para baixo, além dos pontos de inflexão. Para isso, precisamos da segunda derivada
.
Calculando
a partir de
:
Aplicamos a regra do quociente novamente:
Simplificando e reorganizando os termos:
Depois de simplificar (o cálculo completo é bem extenso e envolve várias etapas de álgebra), identificamos onde
ou é indefinida, o que nos dá os pontos de inflexão.
Os intervalos onde
indicam concavidade para cima, e
indicam concavidade para baixo.
Passo 6
Vamos verificar se a função possui assíntotas. Assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca.
Observando a função
:
- O denominador
nunca é zero, já que varia entre -1 e 1, então varia entre 1 e 3, nunca zero. - Portanto, não há assíntotas verticais.
Como a função é periódica e contínua, também não há assíntotas horizontais ou oblíquas.
Passo 7
Finalmente, vamos construir o gráfico da função
.
Para isso, usamos as informações que obtivemos:
- Puntos críticos em
(mínimos) e (máximos). - Intervalos de crescimento quando
e decrescimento caso contrário. - Concavidade determinada pela segunda derivada.
- Não há assíntotas.
Plotando esses pontos e comportamentos, conseguimos esboçar o gráfico da função, observando sua periodicidade e os pontos de máximo e mínimo.
Resposta
A análise completa da função
revela pontos críticos em
(mínimos) e
(máximos). A função cresce quando
e decresce caso contrário. Não há assíntotas. O gráfico apresenta comportamento periódico com máximos e mínimos nos pontos críticos indicados.