Use uma integral dupla para calcular o volume. O volume no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, o plano
e o plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de volume usando uma integral dupla. A gente vai calcular o volume no primeiro octante, ou seja, onde todas as coordenadas são positivas. Os limites são dados pelos planos coordenados (x=0, y=0, z=0), pelo plano y=4 e pelo plano
. Para isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região sobre a qual vamos integrar. Como estamos no primeiro octante e limitado por y=4, x=0 a 3 (quando z=0) e z=0 a 5 (quando x=0), a equação
nos dá a relação entre x e z.
Passo 3
Vamos resolver a equação
para z, ficando:
Isso nos dá o limite superior para z em função de x.
Passo 4
Agora, definimos os limites de integração para x e y. Já que y vai de 0 a 4, e x vai de 0 a 3 (quando z=0), nossa integral dupla será sobre x de 0 a 3 e sobre y de 0 a 4.
Passo 5
A função que estamos integrando para encontrar o volume é simplesmente 1, já que estamos somando infinitos pequenos volumes
. Mas como z já está expresso em função de x, podemos integrar primeiro em z.
Passo 6
Então, a integral dupla fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em y:
Passo 8
Agora, integramos o resultado em relação a x:
Passo 9
Calculando os limites:
Resposta
O volume é 30 unidades cúbicas.