Use uma integral dupla para calcular o volume. O volume no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, o plano y = 4 e o plano (x / 3) + (z / 5) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de volume usando uma integral dupla. A gente vai calcular o volume no primeiro octante, ou seja, onde todas as coordenadas são positivas. Os limites são dados pelos planos coordenados (x=0, y=0, z=0), pelo plano y=4 e pelo plano . Para isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região sobre a qual vamos integrar. Como estamos no primeiro octante e limitado por y=4, x=0 a 3 (quando z=0) e z=0 a 5 (quando x=0), a equação nos dá a relação entre x e z.

Passo 3

Vamos resolver a equação para z, ficando:
Isso nos dá o limite superior para z em função de x.

Passo 4

Agora, definimos os limites de integração para x e y. Já que y vai de 0 a 4, e x vai de 0 a 3 (quando z=0), nossa integral dupla será sobre x de 0 a 3 e sobre y de 0 a 4.

Passo 5

A função que estamos integrando para encontrar o volume é simplesmente 1, já que estamos somando infinitos pequenos volumes . Mas como z já está expresso em função de x, podemos integrar primeiro em z.

Passo 6

Então, a integral dupla fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em y:

Passo 8

Agora, integramos o resultado em relação a x:

Passo 9

Calculando os limites:

Resposta

O volume é 30 unidades cúbicas.

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