Seja é uma transformação linear invertível tal que [ ] é uma matriz de ordem , determine e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma transformação linear invertível representada por uma matriz quadrada de ordem . Nosso objetivo é descobrir duas coisas: a dimensão do núcleo de , que é , e a dimensão da imagem de , que é . Para isso, vamos precisar entender conceitos como transformação linear, núcleo, imagem e propriedades de transformações invertíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear invertível. Uma transformação linear é invertível se existe outra transformação tal que para todo . Isso também implica que a matriz é inversível, ou seja, ela tem determinante diferente de zero.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o núcleo de , que é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero em . Matemáticamente, .

Passo 4

Para uma transformação linear invertível, o único vetor que vai para o zero é o vetor zero mesmo. Isso porque, se e é invertível, então aplicando dos dois lados, temos . Então, .

Passo 5

A dimensão do núcleo, , conta quantos vetores linearmente independentes existem no núcleo. Já vimos que só contém o vetor zero, então a dimensão é zero.

Passo 6

Agora, vamos para a imagem de , que é o conjunto de todos os vetores em que são alcançados por para algum . Ou seja, .

Passo 7

Como é invertível e a matriz é , isso significa que mapeia de dimensões para , também de dimensões, de forma que toda a imagem de preenche o espaço . Ou seja, .

Passo 8

A dimensão da imagem, , é igual à dimensão de . Como tem dimensão , então .

Resposta

e .

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Calcule as seguintes derivadas
Responda as seguintes questões, justificando sua resposta com argumentos consistentes:
Se é uma transformação linear cuja imagem é um plano que passa pela origem, que tipo de objeto geométrico é o núcleo de ?
Sejam transformações lineares dadas por
Determine as leis de e .
Seja a transformação linear dada por . Mostre que
em que é a transformação identidade, dada por .