Seja
é uma transformação linear invertível tal que [
] é uma matriz de ordem
, determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma transformação linear invertível
representada por uma matriz quadrada de ordem
. Nosso objetivo é descobrir duas coisas: a dimensão do núcleo de
, que é
, e a dimensão da imagem de
, que é
. Para isso, vamos precisar entender conceitos como transformação linear, núcleo, imagem e propriedades de transformações invertíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear invertível. Uma transformação linear
é invertível se existe outra transformação
tal que
para todo
. Isso também implica que a matriz
é inversível, ou seja, ela tem determinante diferente de zero.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o núcleo de
, que é o conjunto de todos os vetores
que são mapeados para o vetor zero em
. Matemáticamente,
.
Passo 4
Para uma transformação linear invertível, o único vetor que vai para o zero é o vetor zero mesmo. Isso porque, se
e
é invertível, então aplicando
dos dois lados, temos
. Então,
.
Passo 5
A dimensão do núcleo,
, conta quantos vetores linearmente independentes existem no núcleo. Já vimos que
só contém o vetor zero, então a dimensão é zero.
Passo 6
Agora, vamos para a imagem de
, que é o conjunto de todos os vetores em
que são alcançados por
para algum
. Ou seja,
.
Passo 7
Como
é invertível e a matriz
é
, isso significa que
mapeia
de
dimensões para
, também de
dimensões, de forma que toda a imagem de
preenche o espaço
. Ou seja,
.
Passo 8
A dimensão da imagem,
, é igual à dimensão de
. Como
tem dimensão
, então
.
Resposta
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Calcule as seguintes derivadas
Responda as seguintes questões, justificando sua resposta com argumentos consistentes:
Se é uma transformação linear cuja imagem é um plano que passa pela origem, que tipo de objeto geométrico é o núcleo de
?
Se
Sejam
transformações lineares dadas por
Determine as leis de
e
.
Seja
a transformação linear dada por
. Mostre que
em que
é a transformação identidade, dada por
.