Responda ou , justificando:
(d) Cada conjunto linearmente independente de cinco vetores em é uma base de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está dizendo. A questão fala sobre conjuntos de vetores no espaço e pergunta se todo conjunto de cinco vetores que são linearmente independentes forma uma base desse espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de independência linear e base em álgebra linear.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor desse conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Em outras palavras, não existe uma equação não trivial onde uma combinação dos vetores resulta no vetor zero.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial, como . Uma base é um conjunto de vetores que é linearmente independente e que gera todo o espaço. Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.

Passo 4

No espaço , uma propriedade fundamental é que qualquer conjunto de exatamente vetores que são linearmente independentes forma uma base desse espaço. Isso acontece porque temos exatamente o número de vetores necessário para “preencher” o espaço sem redundância.

Passo 5

Aplicando isso ao nosso caso: estamos trabalhando em e temos um conjunto de cinco vetores que são linearmente independentes. Segundo a propriedade mencionada, esse conjunto deve ser uma base de , já que satisfaz os dois critérios necessários para ser uma base.

Resposta

Verdadeiro. Todo conjunto linearmente independente de cinco vetores em é uma base de .

Exercícios relacionados

Seja || || uma norma no espaço vetorial . Mostre que
para todos .
Responda ou , justificando:
(a) espaço vetorial nulo tem dimensão zero.
Responda ou , justificando:
(j) Existem pelo menos dois subespaços tridimensionais distintos de .
Qual dos vetores coordenadas dado a seguir representa o vetor: na base de ?
a)
b)
c)