Seja V o espaço vetorial de matrizes 2 X 2 triangulares superiores. Sejam
beta=[ll1 & 0 0 & 0],[ll0 & 1 0 & 0],[ll0 & 0 0 & 1]
e beta1=[ll1 & 0 0 & 0],[ll1 & 1 0 & 0],[ll1 & 1 0 & 1]
duas bases de V. Ache [I]beta^beta 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá o espaço vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 triangulares superiores. Temos duas bases para esse espaço, chamadas e . Nosso objetivo aqui é encontrar a matriz de mudança de base , que serve para converter as coordenadas de uma base para a outra. Para isso, vamos precisar entender como expressar cada vetor de uma base na outra e usar alguns conceitos de álgebra linear, como combinação linear e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as duas bases que nos foram dadas:
beta = 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 0 & 1
beta1 = 1 & 0 0 & 0 , 1 & 1 0 & 0 , 1 & 1 0 & 1

Passo 3

Precisamos encontrar como cada vetor da base pode ser expresso em termos da base . Isso significa que, para cada matriz em , vamos encontrar coeficientes que, quando multiplicados pelas matrizes em , resultam na matriz de . Vamos fazer isso para cada uma das três matrizes em .

Passo 4

Vamos começar com o primeiro vetor de 1 & 0 0 & 0 :
a 1 & 0 0 & 0 + b 1 & 1 0 & 0 + c 1 & 1 0 & 1 = 1 & 0 0 & 0
Queremos encontrar escalares tais que:

Passo 5

Fazendo a soma das matrizes:
a + b + c & b + c 0 & c = 1 & 0 0 & 0
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da equação 3, sabemos que 1 0 0.
Substituindo na equação 2: .
Finalmente, substituindo e na equação 1: .
Então, a primeira coluna da matriz de mudança de base será .

Passo 7

Agora, vamos para o segundo vetor de 0 & 1 0 & 0 :
a 1 & 0 0 & 0 + b 1 & 1 0 & 0 + c 1 & 1 0 & 1 = 0 & 1 0 & 0
Buscamos escalares tais que:

Passo 8

Fazendo a soma das matrizes:
a + b + c & b + c 0 & c = 0 & 1 0 & 0
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 9

Resolvendo o sistema:
Da equação 3, sabemos que -1 1 0.
Substituindo na equação 2: .
Finalmente, substituindo e na equação 1: .
Então, a segunda coluna da matriz de mudança de base será .

Passo 10

Por último, vamos para o terceiro vetor de 0 & 0 0 & 1 :
a 1 & 0 0 & 0 + b 1 & 1 0 & 0 + c 1 & 1 0 & 1 = 0 & 0 0 & 1
Buscamos escalares tais que:

Passo 11

Fazendo a soma das matrizes:
a + b + c & b + c 0 & c = 0 & 0 0 & 1
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 12

Resolvendo o sistema:
Da equação 3, sabemos que 0 -1 1.
Substituindo na equação 2: .
Finalmente, substituindo e na equação 1: .
Então, a terceira coluna da matriz de mudança de base será .

Resposta

A matriz de mudança de base [I]beta^beta1 = 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1 é:

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