Seja o espaço vetorial de matrizes 2 X 2 triangulares superiores. Sejam
e
duas bases de . Ache .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá o espaço vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 triangulares superiores. Temos duas bases para esse espaço, chamadas e . Nosso objetivo aqui é encontrar a matriz de mudança de base , que serve para converter as coordenadas de uma base para a outra. Para isso, vamos precisar entender como expressar cada vetor de uma base na outra e usar alguns conceitos de álgebra linear, como combinação linear e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as duas bases que nos foram dadas:

Passo 3

Precisamos encontrar como cada vetor da base pode ser expresso em termos da base . Isso significa que, para cada matriz em , vamos encontrar coeficientes que, quando multiplicados pelas matrizes em , resultam na matriz de . Vamos fazer isso para cada uma das três matrizes em .

Passo 4

Vamos começar com o primeiro vetor de :
Queremos encontrar escalares tais que:

Passo 5

Fazendo a soma das matrizes:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da equação 3, sabemos que .
Substituindo na equação 2: .
Finalmente, substituindo e na equação 1: .
Então, a primeira coluna da matriz de mudança de base será .

Passo 7

Agora, vamos para o segundo vetor de :
Buscamos escalares tais que:

Passo 8

Fazendo a soma das matrizes:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 9

Resolvendo o sistema:
Da equação 3, sabemos que .
Substituindo na equação 2: .
Finalmente, substituindo e na equação 1: .
Então, a segunda coluna da matriz de mudança de base será .

Passo 10

Por último, vamos para o terceiro vetor de :
Buscamos escalares tais que:

Passo 11

Fazendo a soma das matrizes:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 12

Resolvendo o sistema:
Da equação 3, sabemos que .
Substituindo na equação 2: .
Finalmente, substituindo e na equação 1: .
Então, a terceira coluna da matriz de mudança de base será .

Resposta

A matriz de mudança de base é:

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Seja um plano determinado pelos pontos e . Sabe-se que a distância entre os pontos e , com , é . Calcule a distância entre o ponto e o plano .
Responda ou , justificando:
© Existe um conjunto de 11 vetores que gera .
Usando indução, prove: Para cada inteiro é par.
Responda ou , justificando:
(g) Cada conjunto de vetores linearmente independente em está contido em alguma base de .