Seja o espaço vetorial de matrizes 2 X 2 triangulares superiores. Sejam
e
duas bases de . Ache .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá o espaço vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 triangulares superiores. Temos duas bases para esse espaço, chamadas e . Nosso objetivo aqui é encontrar a matriz de mudança de base , que serve para converter as coordenadas de uma base para a outra. Para isso, vamos precisar entender como expressar cada vetor de uma base na outra e usar alguns conceitos de álgebra linear, como combinação linear e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos listar as duas bases que nos foram dadas:
Passo 3
Precisamos encontrar como cada vetor da base pode ser expresso em termos da base . Isso significa que, para cada matriz em , vamos encontrar coeficientes que, quando multiplicados pelas matrizes em , resultam na matriz de . Vamos fazer isso para cada uma das três matrizes em .
Passo 4
Vamos começar com o primeiro vetor de :
Queremos encontrar escalares tais que:
Passo 5
Fazendo a soma das matrizes:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da equação 3, sabemos que .
Substituindo na equação 2: ⇒ .
Finalmente, substituindo e na equação 1: ⇒ .
Então, a primeira coluna da matriz de mudança de base será .
Passo 7
Agora, vamos para o segundo vetor de 0 & 1 0 & 0 :
a 1 & 0 0 & 0 + b 1 & 1 0 & 0 + c 1 & 1 0 & 1 = 0 & 1 0 & 0
Buscamos escalares tais que:
Passo 8
Fazendo a soma das matrizes:
a + b + c & b + c 0 & c = 0 & 1 0 & 0
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 9
Resolvendo o sistema:
Da equação 3, sabemos que -1 1 0.
Substituindo na equação 2: ⇒ .
Finalmente, substituindo e na equação 1: ⇒ .
Então, a segunda coluna da matriz de mudança de base será .
Passo 10
Por último, vamos para o terceiro vetor de 0 & 0 0 & 1 :
a 1 & 0 0 & 0 + b 1 & 1 0 & 0 + c 1 & 1 0 & 1 = 0 & 0 0 & 1
Buscamos escalares tais que:
Passo 11
Fazendo a soma das matrizes:
a + b + c & b + c 0 & c = 0 & 0 0 & 1
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 12
Resolvendo o sistema:
Da equação 3, sabemos que 0 -1 1.
Substituindo na equação 2: ⇒ .
Finalmente, substituindo e na equação 1: ⇒ .
Então, a terceira coluna da matriz de mudança de base será .
Resposta
A matriz de mudança de base [I]beta^beta1 = 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1 é: