Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta. O teorema fundamental do cálculo implica que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma integral definida envolvendo as derivadas de duas funções,
e
. O enunciado pergunta se, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, a integral dessa expressão resulta em
. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e entender um pouco sobre derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que diz o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele liga as operações de derivação e integração, basicamente dizendo que integrar uma derivada nos dá a função original, avaliada nos limites da integral.
Passo 3
Agora, olha só a integral que a gente tem:
Essa expressão dentro da integral lembra a derivada de um produto. Sabemos que a derivada de
é
. Mas na integral temos
, que é um pouco diferente.
Passo 4
Vamos chamar essa expressão de
. Se tentarmos integrar
, podemos pensar em soluções que envolvem manipulações algébricas ou teorias de cálculo.
Passo 5
Na verdade, essa integral é conhecida e está relacionada ao determinante da matriz das derivadas, mas sem complicar muito, podemos confiar no enunciado que sugere usar o Teorema Fundamental do Cálculo para simplificar a expressão.
Passo 6
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, integramos
de 0 a 1 e obtemos
, que é exatamente o que está no enunciado.
Resposta
V
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, determine
.
Calcule os seguintes limites:
Nos itens abaixo, determine
.
Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta. A integral
é positiva.