Responda: (Vale 0,75pts.)
(a) O que é um conjunto fechado em ? O que é um conjunto limitado?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Ela quer que a gente explique dois conceitos importantes em análise matemática: conjunto fechado em e conjunto limitado. Para isso, vamos precisar conhecer as definições desses termos e ver alguns exemplos para clarear a ideia.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre conjuntos fechados. Em , um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos de limite. Isso significa que se você pegar uma sequência de pontos dentro desse conjunto que converge para algum ponto, esse ponto limite também deve estar dentro do conjunto. Por exemplo, o círculo definido pela equação é um conjunto fechado porque inclui todos os pontos na circunferência.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é um conjunto limitado. Um conjunto em é limitado se todos os seus pontos estão dentro de algum círculo de raio finito. Em outras palavras, existe um número tal que para todo ponto no conjunto, a distância desse ponto à origem é menor que . Por exemplo, o conjunto de todos os pontos onde é limitado porque todos os pontos estão dentro de um círculo de raio .

Resposta

Um conjunto fechado em é aquele que contém todos os seus pontos de limite, ou seja, se uma sequência de pontos do conjunto converge para algum ponto, esse ponto também está no conjunto. Já um conjunto limitado é aquele que está contido dentro de algum círculo de raio finito, ou seja, existe uma constante tal que a distância de qualquer ponto do conjunto à origem é menor que .

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