Responda Verdadeiro ou Falso, justificando sua resposta:
Sejam
e
matrizes
.
b) Se
e
são invertíveis então
é invertível.
Sejam
b) Se
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para a gente dizer se a afirmação “Se
e
são matrizes invertíveis, então
também é invertível” é verdadeira ou falsa. Estamos lidando com matrizes invertíveis, que são aquelas que têm uma matriz inversa, ou seja, existe uma matriz que, quando multiplicada pela original, resulta na matriz identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz
é invertível se existe uma matriz
tal que:
onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Agora, queremos saber se o produto
também é invertível. Sabemos que
e
são invertíveis, então eles têm inversas
e
respectivamente.
Passo 4
Usando a propriedade das matrizes inversas, a inversa do produto
é dada por:
Isso significa que se multiplicarmos
pela sua inversa
, teremos:
E o mesmo vale para a multiplicação na ordem inversa:
Resposta
Verdadeiro. Se
e
são matrizes invertíveis, então
também é invertível, e sua inversa é
.