Usando as propriedades do determinante, calcule o determinante das matrizes:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o determinante da matriz usando as propriedades dos determinantes. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes, especialmente como eles se comportam quando fazemos certas operações na matriz, como trocar linhas ou transformar a matriz em uma forma mais simples, como triangular.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na matriz :
Observamos que a matriz é uma matriz 4x4. Para calcular o determinante, podemos simplificar a matriz usando operações que não mudam o valor do determinante, como adicionar múltiplos de uma linha a outra.
Passo 3
Vamos tentar transformar a matriz em uma forma triangular, onde todos os elementos abaixo (ou acima) da diagonal principal são zeros. Isso facilita o cálculo, porque o determinante de uma matriz triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Passo 4
Observando a matriz , vemos que já há vários zeros abaixo da diagonal principal, especialmente nas colunas 1 e 2. Vamos focar na terceira coluna para simplificar ainda mais a matriz.
Passo 5
Podemos perceber que as linhas 2, 3 e 4 já têm zeros na primeira e segunda posições. Vamos então calcular o determinante expandindo pela primeira coluna, já que ela tem apenas um elemento diferente de zero, o que simplifica nosso trabalho.
Passo 6
Expandindo o determinante pela primeira coluna:
Passo 7
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz 3x3. Observamos que ela é uma matriz triangular superior (os elementos abaixo da diagonal principal são zeros). O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.