Sejam A=[lll1 & 0 & 3 4 & 5 & 6 7 & 0 & 9] e B=[rrr2 & 0 & 0 pi & 3 & 0 raiz2 & 1 / 7 & 4].
b) Encontre o valor de det(A^2 B^-1 A^-2 B^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de . Aqui, estamos lidando com determinantes de matrizes e algumas propriedades importantes de determinantes quando fazemos multiplicações e inversões de matrizes. Vamos precisar lembrar como calcular determinantes e usar algumas regras básicas sobre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está dentro do determinante: det(ABC) = det(A) cdot det(B) cdot det(C) . Isso significa que temos uma sequência de multiplicações e inversões de matrizes. Uma propriedade chave que vamos usar é que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes. Ou seja:

Passo 3

Vamos aplicar essa propriedade ao nosso caso. Temos:
det(A^2 B^-1 A^-2 B^2) = det(A^2) cdot det(B^-1) cdot det(A^-2) cdot det(B^2)

Passo 4

Agora, vamos lembrar de outra propriedade dos determinantes: det(A^2) = (det(A))^2 . Isso significa que:
det(A^-2) = (det(A^-1))^2 = (1det(A))^2 = 1(det(A))^2
det(B^2) = (det(B))^2
det(B^-1) = 1det(B)
Além disso, para a matriz inversa:

Passo 5

Substituindo essas expressões na nossa equação original:
det(A^2 B^-1 A^-2 B^2) = (det(A))^2 cdot 1det(B) cdot 1(det(A))^2 cdot (det(B))^2

Passo 6

Agora, vamos simplificar essa expressão. Observe que (det(A))^2 cdot 1(det(A))^2 = 1 e 1 cdot 1det(B) cdot (det(B))^2 = det(B) se cancelam:
Então, a expressão fica:

Passo 7

Portanto, descobrimos que:
det(A^2 B^-1 A^-2 B^2) = det(B)
Então, agora só precisamos calcular o determinante da matriz .

Passo 8

A matriz B = 2 & 0 & 0 pi & 3 & 0 raiz2 & 17 & 4 é:
Essa é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o que facilita o cálculo do determinante: é apenas o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 9

Então, calculamos o determinante de det(B) = 2 times 3 times 4 = 24 multiplicando os elementos da diagonal principal:

Resposta

det(A^2 B^-1 A^-2 B^2) = 24

Exercícios relacionados