Sejam e .
b) Encontre o valor .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de . Aqui, estamos lidando com determinantes de matrizes e algumas propriedades importantes de determinantes quando fazemos multiplicações e inversões de matrizes. Vamos precisar lembrar como calcular determinantes e usar algumas regras básicas sobre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está dentro do determinante: . Isso significa que temos uma sequência de multiplicações e inversões de matrizes. Uma propriedade chave que vamos usar é que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes. Ou seja:

Passo 3

Vamos aplicar essa propriedade ao nosso caso. Temos:

Passo 4

Agora, vamos lembrar de outra propriedade dos determinantes: . Isso significa que:
Além disso, para a matriz inversa:

Passo 5

Substituindo essas expressões na nossa equação original:

Passo 6

Agora, vamos simplificar essa expressão. Observe que e se cancelam:
Então, a expressão fica:

Passo 7

Portanto, descobrimos que:
Então, agora só precisamos calcular o determinante da matriz .

Passo 8

A matriz é:
Essa é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o que facilita o cálculo do determinante: é apenas o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 9

Então, calculamos o determinante de multiplicando os elementos da diagonal principal:

Resposta

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Responda Verdadeiro ou Falso, justificando sua resposta:
Sejam e matrizes .
c) Se é invertível então é invertível.
Usando as propriedades do determinante, calcule o determinante das matrizes:
b)
Responda Verdadeiro ou Falso, justificando sua resposta:
Sejam e matrizes .
a) Se for invertível e B for singular, então é singular.
Seja .
a) Calcule a inversa de .