Responda Verdadeiro ou Falso. Se verdadeiro apresente uma justificativa usando as propriedades de matrizes; se falso, dê um exemplo mostrando o contrário. (d) Existe uma matriz quadrada de ordem 2 tal que .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está perguntando. Ela quer saber se existe uma matriz quadrada de ordem 2 (ou seja, uma matriz 2x2) que, quando multiplicada por si mesma (A²), resulta na própria matriz A. O conteúdo envolvido aqui são as propriedades de matrizes, especificamente as matrizes idempotentes, que satisfazem a condição A² = A.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa multiplicar uma matriz por si mesma. Se temos uma matriz A, a operação A² é simplesmente A multiplicada por A.
Passo 3
Agora, queremos encontrar uma matriz A tal que A² = A. Isso significa que, após a multiplicação, a matriz não muda.
Passo 4
Uma forma simples de encontrar tal matriz é considerar a matriz identidade, que é uma matriz quadrada com 1’s na diagonal principal e 0’s fora dela. Por exemplo, para uma matriz de ordem 2:
Passo 5
Vamos verificar se essa matriz satisfaz a condição A² = A:
Passo 6
Como vimos, a matriz identidade de ordem 2 satisfaz A² = A, o que mostra que tal matriz existe.
Resposta
Verdadeiro. Por exemplo, a matriz identidade de ordem 2 satisfaz A² = A.