Responda Verdadeiro ou Falso. Se verdadeiro apresente uma justificativa usando as propriedades de matrizes; se falso, dê um exemplo mostrando o contrário. (d) Existe uma matriz quadrada de ordem 2 tal que .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está perguntando. Ela quer saber se existe uma matriz quadrada de ordem 2 (ou seja, uma matriz 2x2) que, quando multiplicada por si mesma (), resulta na própria matriz A. O conteúdo envolvido aqui são as propriedades de matrizes, especificamente as matrizes idempotentes, que satisfazem a condição A² = A.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa multiplicar uma matriz por si mesma. Se temos uma matriz A, a operação é simplesmente A multiplicada por A.

Passo 3

Agora, queremos encontrar uma matriz A tal que A² = A. Isso significa que, após a multiplicação, a matriz não muda.

Passo 4

Uma forma simples de encontrar tal matriz é considerar a matriz identidade, que é uma matriz quadrada com 1’s na diagonal principal e 0’s fora dela. Por exemplo, para uma matriz de ordem 2:

Passo 5

Vamos verificar se essa matriz satisfaz a condição A² = A:
²

Passo 6

Como vimos, a matriz identidade de ordem 2 satisfaz A² = A, o que mostra que tal matriz existe.

Resposta

Verdadeiro. Por exemplo, a matriz identidade de ordem 2 satisfaz A² = A.

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