Responda Verdadeiro ou Falso. Se verdadeiro apresente uma justificativa usando as propriedades de matrizes; se falso, dê um exemplo mostrando o contrário. (e) Se é uma matriz quadrada de ordem tal que , então .
Passo 1
Beleza! Vamos lá: o exercício pergunta se toda matriz quadrada de ordem que satisfaz necessariamente é a matriz nula . Estamos lidando aqui com propriedades de matrizes, mais especificamente com matrizes nilpotentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, quando multiplicamos a matriz por ela mesma, o resultado é a matriz nula, onde todos os elementos são zero.
Passo 3
A questão é: isso implica que já é a matriz nula? Na matemática, existem matrizes que não são nulas, mas ao serem elevadas a certas potências resultam na matriz nula. Essas matrizes são chamadas de nilpotentes.
Passo 4
Para ver se a afirmação é verdadeira ou falsa, vamos tentar encontrar uma matriz que não seja nula, mas que ao ser quadrada dê a matriz nula.
Passo 5
Consideremos a seguinte matriz:
Essa matriz não é a matriz nula, pois tem um elemento diferente de zero.
Passo 6
Vamos calcular :
[
A^2 = A \times A =
\times
= \overline{0}
]
Viu só? A matriz ao quadrado resulta na matriz nula, mesmo sendo .