Responda Verdadeiro ou Falso. Se verdadeiro apresente uma justificativa usando as propriedades de matrizes; se falso, dê um exemplo mostrando o contrário. (e) Se A é uma matriz quadrada de ordem n, n in N^* tal que A^2=0, então A=0.

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o exercício pergunta se toda matriz quadrada de ordem que satisfaz necessariamente é a matriz nula . Estamos lidando aqui com propriedades de matrizes, mais especificamente com matrizes nilpotentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, quando multiplicamos a matriz por ela mesma, o resultado é a matriz nula, onde todos os elementos são zero.

Passo 3

A questão é: isso implica que já é a matriz nula? Na matemática, existem matrizes que não são nulas, mas ao serem elevadas a certas potências resultam na matriz nula. Essas matrizes são chamadas de nilpotentes.

Passo 4

Para ver se a afirmação é verdadeira ou falsa, vamos tentar encontrar uma matriz que não seja nula, mas que ao ser quadrada dê a matriz nula.

Passo 5

Consideremos a seguinte matriz:
A = 0 & 1 0 & 0
Essa matriz não é a matriz nula, pois tem um elemento diferente de zero.

Passo 6

Vamos calcular A^2 = A times A = 0 & 1 0 & 0 times 0 & 1 0 & 0 = 0 & 0 0 & 0 = 0 :
[
A^2 = A \times A =
\times


= \overline{0}
]
Viu só? A matriz ao quadrado resulta na matriz nula, mesmo sendo .

Resposta

Falso. Por exemplo, a matriz 0 & 1 0 & 0 satisfaz mas .

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