Usar el teorema de Green para calcular
donde D es el perímetro de del cuadrado de lados
en sentido positivo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é o contorno de um quadrado com lados de
percorrido no sentido positivo (anti-horário). Vamos precisar entender como transformar essa integral de linha em uma integral dupla usando o Teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
que
delimita. A fórmula é:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Agora, precisamos integrar essa expressão sobre a região
, que é o quadrado .
Passo 5
Vamos separar a integral em duas partes:
Como
é o quadrado de
a
em
e
, podemos integrar primeiro em
e depois em
(ou vice-versa).
Passo 6
Vamos calcular a primeira integral:
Integrando em
:
Multiplicando por 4 e integrando em
:
Passo 7
Agora, a segunda integral:
Integrando em
:
Multiplicando por 2 e integrando em
:
Resposta
Subtraindo as duas integrais, temos:
Então, o valor da integral é
.