Usar el teorema de Green para calcular donde D es el perímetro de del cuadrado de lados en sentido positivo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. O enunciado pede para calcular a integral de linha onde é o contorno de um quadrado com lados de percorrido no sentido positivo (anti-horário). Vamos precisar entender como transformar essa integral de linha em uma integral dupla usando o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que delimita. A fórmula é:
No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Agora, precisamos integrar essa expressão sobre a região , que é o quadrado .

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes:
Como é o quadrado de a em e , podemos integrar primeiro em e depois em (ou vice-versa).

Passo 6

Vamos calcular a primeira integral:
Integrando em :
Multiplicando por 4 e integrando em :

Passo 7

Agora, a segunda integral:
Integrando em :
Multiplicando por 2 e integrando em :

Resposta

Subtraindo as duas integrais, temos:
Então, o valor da integral é .

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