Usar el teorema de Green para calcular integralD(y^2+x^3) d x+x^4 d y donde D es el perímetro de del cuadrado de lados [0,1] times[0,1] en sentido positivo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. O enunciado pede para calcular a integral de linha integralD(y^2+x^3) dx + x^4 dy onde D é o contorno de um quadrado com lados de [0,1] times [0,1] percorrido no sentido positivo (anti-horário). Vamos precisar entender como transformar essa integral de linha em uma integral dupla usando o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada C com uma integral dupla sobre a região D que C delimita. A fórmula é:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
No nosso caso, P = y^2 + x^3 e Q = x^4.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (x^4) = 4x^3
partial Ppartial y = partialpartial y (y^2 + x^3) = 2y

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
integral duplaD ( 4x^3 - 2y ) dA
Agora, precisamos integrar essa expressão sobre a região D, que é o quadrado .

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes:
integral duplaD 4x^3 ,dA - integral duplaD 2y ,dA
Como D é o quadrado de 0 a 1 em x e y, podemos integrar primeiro em x e depois em y (ou vice-versa).

Passo 6

Vamos calcular a primeira integral:
integral duplaD 4x^3 ,dA = 4 integral0^1 integral0^1 x^3 ,dx ,dy
Integrando em x:
integral0^1 x^3 ,dx = [ x^44 ]0^1 = 14
Multiplicando por 4 e integrando em y:
4 times 14 times integral0^1 dy = 1 times 1 = 1

Passo 7

Agora, a segunda integral:
integral duplaD 2y ,dA = 2 integral0^1 integral0^1 y ,dx ,dy
Integrando em x:
integral0^1 y ,dx = y times (1 - 0) = y
Multiplicando por 2 e integrando em y:
2 times integral0^1 y ,dy = 2 times [ y^22 ]0^1 = 2 times 12 = 1

Resposta

Subtraindo as duas integrais, temos:
1 - 1 = 0
Então, o valor da integral é 0.

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