Sea la región del plano encerrada entre las rectas
Expresa D como región de tipo I y como región de tipo II; calcula su área por las dos expresiones
(0.5 puntos)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa trabalhar com a região no plano que está delimitada pelas retas , e . O conteúdo aqui envolve integração dupla para calcular áreas e a definição de regiões de tipo I e tipo II, que são maneiras diferentes de descrever a área que queremos integrar. Vamos precisar entender como montar os limites de integração para cada tipo e depois calcular a área usando essas duas expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . As retas envolvidas são:
  • : uma reta que passa pela origem com inclinação 2.
  • : uma reta horizontal que corta o eixo no ponto 6.
  • : o eixo em si.
Para entender a região, vamos encontrar os pontos de interseção:
  • Onde intersecta :
  • Onde intersecta :
Então, a região é um trapézio com vértices em , , .

Passo 3

Agora, vamos expressar como uma região de tipo I. Isso significa que vamos fixar primeiro e determinar os limites de em função de .
  • Limites para : De onde a região começa e termina no eixo . Aqui, vai de 0 até 3.
  • Limites para : Para cada , começa na reta e vai até a reta .
Então, a região de tipo I fica:

Passo 4

Agora, vamos expressar como uma região de tipo II. Isso significa que vamos fixar primeiro e determinar os limites de em função de .
  • Limites para : De onde a região começa e termina no eixo . Aqui, vai de 0 até 6.
  • Limites para : Para cada , começa em 0 e vai até (resolvendo para ).
Então, a região de tipo II fica:

Passo 5

Agora que temos as duas formas de expressar a região , vamos calcular a área usando integração dupla para cada tipo.
Para a região de tipo I:
Á
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Para a região de tipo II:
Á
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Resposta

A área da região é 9 unidades de área tanto pela expressão de tipo I quanto pela de tipo II.

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(1)