Sea
la región del plano
encerrada entre las rectas
Expresa D como región de tipo I y como región de tipo II; calcula su área por las dos expresiones
(0.5 puntos)
Expresa D como región de tipo I y como región de tipo II; calcula su área por las dos expresiones
(0.5 puntos)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa trabalhar com a região
no plano
que está delimitada pelas retas
,
e
. O conteúdo aqui envolve integração dupla para calcular áreas e a definição de regiões de tipo I e tipo II, que são maneiras diferentes de descrever a área que queremos integrar. Vamos precisar entender como montar os limites de integração para cada tipo e depois calcular a área usando essas duas expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. As retas envolvidas são:
-
: uma reta que passa pela origem com inclinação 2. -
: uma reta horizontal que corta o eixo no ponto 6. -
: o eixo em si.
Para entender a região, vamos encontrar os pontos de interseção:
- Onde
intersecta : - Onde
intersecta :
Então, a região
é um trapézio com vértices em
,
,
.
Passo 3
Agora, vamos expressar
como uma região de tipo I. Isso significa que vamos fixar
primeiro e determinar os limites de
em função de
.
- Limites para
: De onde a região começa e termina no eixo . Aqui, vai de 0 até 3. - Limites para
: Para cada , começa na reta e vai até a reta .
Então, a região de tipo I fica:
Passo 4
Agora, vamos expressar
como uma região de tipo II. Isso significa que vamos fixar
primeiro e determinar os limites de
em função de
.
- Limites para
: De onde a região começa e termina no eixo . Aqui, vai de 0 até 6. - Limites para
: Para cada , começa em 0 e vai até (resolvendo para ).
Então, a região de tipo II fica:
Passo 5
Agora que temos as duas formas de expressar a região
, vamos calcular a área usando integração dupla para cada tipo.
Para a região de tipo I:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Para a região de tipo II:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A área da região
é 9 unidades de área tanto pela expressão de tipo I quanto pela de tipo II.
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donde D es el perímetro de del cuadrado de lados
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Sea
e
, calcular df/dt utilizando la regla de la cadena.
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(1)
(1)