Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:
con
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo não homogêneo. Para resolver isso, vamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. A solução dessa equação é baseada nas raízes características da equação característica
. Resolvendo, temos
. Como as raízes são complexas, a solução geral da homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Geralmente, tentamos uma solução da forma
. Contudo, percebemos que essas funções já estão na solução homogênea, o que significa que precisamos multiplicar por
para evitar repetição. Então, tentamos:
Passo 4
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Simplificando:
Passo 5
Substituímos
e
na equação original:
Os termos com
se cancelam, ficando:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 7
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro,
:
Segundo, derivamos
para encontrar
:
Aplicando
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:
Determinar uma função de várias variáveis que represente: A temperatura nos pontos de uma esfera, se ela, em qualquer ponto, é numericamente igual a distância do ponto ao centro da esfera.