Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: y'' + 4y = sen(2x) con y(0) = 1 e y'(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo não homogêneo. Para resolver isso, vamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . A solução dessa equação é baseada nas raízes características da equação característica . Resolvendo, temos . Como as raízes são complexas, a solução geral da homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Geralmente, tentamos uma solução da forma . Contudo, percebemos que essas funções já estão na solução homogênea, o que significa que precisamos multiplicar por para evitar repetição. Então, tentamos:

Passo 4

Vamos derivar para encontrar e :
Simplificando:

Passo 5

Substituímos e na equação original:
Os termos com se cancelam, ficando:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, :
Segundo, derivamos para encontrar :
Aplicando :
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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