Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: y'' + 4y' + 4y = 6 cos(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa equação pertence ao estudo das Equações Diferenciais Lineares de Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea: . Para isso, usamos a equação característica, que é uma ferramenta que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica.

Passo 3

A equação característica para essa equação homogênea é: . Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r.

Passo 4

Resolvendo utilizando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos uma raiz dupla .

Passo 5

Com a raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a solução particular da equação completa . Para isso, usamos o método dos coeficientes a determinar.

Passo 7

Como o lado direito da equação é , assumimos uma solução particular da forma:
onde A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 8

Calculando as derivadas de :

Passo 9

Substituindo , e na equação original:

Passo 10

Simplificando os termos:

Passo 11

Igualando os coeficientes:

Passo 12

Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:

Passo 13

Então, a solução particular é:

Passo 14

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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