Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa equação pertence ao estudo das Equações Diferenciais Lineares de Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
. Para isso, usamos a equação característica, que é uma ferramenta que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica.
Passo 3
A equação característica para essa equação homogênea é:
. Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Resolvendo
utilizando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos uma raiz dupla
.
Passo 5
Com a raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a solução particular
da equação completa
. Para isso, usamos o método dos coeficientes a determinar.
Passo 7
Como o lado direito da equação é
, assumimos uma solução particular da forma:
onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 8
Calculando as derivadas de
:
Passo 9
Substituindo
,
e
na equação original:
Passo 10
Simplificando os termos:
Passo 11
Igualando os coeficientes:
Passo 12
Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Passo 13
Então, a solução particular é:
Passo 14
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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e
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