Si situamos una masa de 5 Kg en un resorte, éste se alarga 10 cm . Liberamos la masa 8 cm por debajo de la posición de equilibrio. ¿Cuál es la función que describe la posición de la masa en función del tiempo?
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma massa de 5 kg colocada em um resorte que se estica 10 cm. Depois, a massa é liberada 8 cm abaixo da posição de equilíbrio. Nosso objetivo é encontrar a função que descreve a posição dessa massa ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de oscilações harmônicas e leis de Hooke, que tratam do comportamento de molas e movimentos oscilatórios.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a constante elástica
do resorte. Sabemos que a força exercida pela massa é igual ao peso dela, e a força na mola é dada por
, onde
é a deformação da mola.
A força da massa é:
onde
e
.
Calculando:
A mola se estende 10 cm, que é 0,10 m. Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a frequência angular
do sistema. A fórmula para
em oscilações harmônicas é:
Substituindo os valores:
Passo 4
A equação geral do movimento para uma oscilação harmônica simples é:
Precisamos determinar os coeficientes
e
usando as condições iniciais. Sabemos que a massa é liberada 8 cm abaixo da posição de equilíbrio, ou seja, a posição inicial
, e como ela é liberada a partir do repouso, a velocidade inicial
.
Usando
:
Para a velocidade, derivamos
:
Usando
:
Passo 5
Com
e
, a função que descreve a posição da massa em função do tempo fica:
Podemos simplificar o sinal negativo incorporando na função:
Resposta
A função que descreve a posição da massa em função do tempo é:
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Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:
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