Si situamos una masa de 5 Kg en un resorte, éste se alarga 10 cm . Liberamos la masa 8 cm por debajo de la posición de equilibrio. ¿Cuál es la función que describe la posición de la masa en función del tiempo?

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma massa de 5 kg colocada em um resorte que se estica 10 cm. Depois, a massa é liberada 8 cm abaixo da posição de equilíbrio. Nosso objetivo é encontrar a função que descreve a posição dessa massa ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de oscilações harmônicas e leis de Hooke, que tratam do comportamento de molas e movimentos oscilatórios.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a constante elástica do resorte. Sabemos que a força exercida pela massa é igual ao peso dela, e a força na mola é dada por , onde é a deformação da mola.
A força da massa é:
onde
e
.
Calculando:
A mola se estende 10 cm, que é 0,10 m. Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a frequência angular do sistema. A fórmula para em oscilações harmônicas é:
Substituindo os valores:

Passo 4

A equação geral do movimento para uma oscilação harmônica simples é:
Precisamos determinar os coeficientes e usando as condições iniciais. Sabemos que a massa é liberada 8 cm abaixo da posição de equilíbrio, ou seja, a posição inicial , e como ela é liberada a partir do repouso, a velocidade inicial .
Usando :
Para a velocidade, derivamos :
Usando :

Passo 5

Com e , a função que descreve a posição da massa em função do tempo fica:
Podemos simplificar o sinal negativo incorporando na função:

Resposta

A função que descreve a posição da massa em função do tempo é:

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Determinar uma função de várias variáveis que represente: A temperatura nos pontos de uma esfera, se ela, em qualquer ponto, é numericamente igual a distância do ponto ao centro da esfera.
T(x, y, z) = raiz(x^2 + y^2 + z^2)
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: y'' + 4y' + 4y = 6 cos(x)
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: y'' - 4y' + 4y = 2e^(2x) + x/2
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: y'' - 4y = e^(2x)