Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: 2 y'' - y' - y = 4 x e^(2 x) con y(0) = 6 e
y'(0) = e

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O problema que temos é resolver a equação diferencial de segunda ordem com as condições iniciais e . Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares não homogêneas, como o método dos coeficientes a determinar e a aplicação das condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, assumimos que a solução tem a forma . Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por :

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica . Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes:

Passo 4

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Observando o lado direito, temos , então vamos supor que a solução particular tem a forma:
onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 6

Calculamos as derivadas de :

Passo 7

Substituímos , e na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 8

Igualando os coeficientes das potências de :

Passo 9

Agora, temos a solução particular:

Passo 10

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 11

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição: :

Passo 12

Segunda condição: . Primeiro, encontramos :

Passo 13

Agora, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo na primeira equação:

Passo 14

Finalmente, substituímos e na solução geral:

Resposta

A solução da equação diferencial dada com as condições iniciais é:

Exercícios relacionados

Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: y'' - 4y = e^(2x)
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: y'' - 4y' + 4y = 2e^(2x) + x/2
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: y'' - y = senh(x) con y(0) = 1, y' (0) = pi
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
e) f(x) = 2 * e^(3 * x^2 + 6 * x + 8)