Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:
con
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O problema que temos é resolver a equação diferencial de segunda ordem
com as condições iniciais
e
. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares não homogêneas, como o método dos coeficientes a determinar e a aplicação das condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, assumimos que a solução tem a forma
. Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por
:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação característica
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes:
Passo 4
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa
. Observando o lado direito, temos
, então vamos supor que a solução particular tem a forma:
onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Passo 7
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 8
Igualando os coeficientes das potências de
:
Passo 9
Agora, temos a solução particular:
Passo 10
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 11
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
:
Passo 12
Segunda condição:
. Primeiro, encontramos
:
Passo 13
Agora, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 14
Finalmente, substituímos
e
na solução geral:
Resposta
A solução da equação diferencial dada com as condições iniciais é:
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con
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
e)
e)