Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: y'' - y = senh(x) con y(0) = 1, y' (0) = pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral para resolver é assumir soluções do tipo , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Então, a equação fica:
Como nunca é zero, temos:

Passo 4

Portanto, as soluções da equação homogênea são , onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Para isso, usamos o método de coeficientes indeterminados. Sabemos que , então tentamos uma solução particular da forma:

Passo 6

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação diferencial:
Isso não funciona, o que significa que precisamos multiplicar por para encontrar uma solução particular adequada, pois as tentativas anteriores estão na solução homogênea.

Passo 7

Tentamos então . Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Comparando os coeficientes:

Passo 8

Então, a solução particular é:

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 10

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Para :
Para , primeiro encontramos :
Então, para :

Passo 11

Resolvendo o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: 2 y'' - y' - y = 4 x e^(2 x) con y(0) = 6 e
y'(0) = e
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: y'' - 4y = e^(2x)
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
e) f(x) = 2 * e^(3 * x^2 + 6 * x + 8)
(a) lim (x, y) (0,0) 3x^2+2 y^2