Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:
con
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral para resolver é assumir soluções do tipo
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Então, a equação fica:
Como
nunca é zero, temos:
Passo 4
Portanto, as soluções da equação homogênea são
, onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Para isso, usamos o método de coeficientes indeterminados. Sabemos que
, então tentamos uma solução particular da forma:
Passo 6
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Isso não funciona, o que significa que precisamos multiplicar por
para encontrar uma solução particular adequada, pois as tentativas anteriores estão na solução homogênea.
Passo 7
Tentamos então
. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Comparando os coeficientes:
Passo 8
Então, a solução particular é:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 10
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Para
:
Para
, primeiro encontramos
:
Então, para
:
Passo 11
Resolvendo o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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con
e
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Derive cada uma das funções dadas abaixo:
e)
e)
(a)