Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: y'' - 4y = e^(2x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, assumimos que a solução tem a forma . Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Como nunca é zero, temos a equação característica:
Então, as soluções da equação homogênea são:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Observamos que o termo do lado direito é , que já está presente na solução homogênea. Nesse caso, multiplicamos por para encontrar uma solução particular:
Vamos derivar para substituir na equação:
Substituindo e suas derivadas na equação:
Simplificando:
Portanto:
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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