Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea
e uma solução particular da equação completa
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, assumimos que a solução tem a forma
. Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Como
nunca é zero, temos a equação característica:
Então, as soluções da equação homogênea são:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Observamos que o termo do lado direito é
, que já está presente na solução homogênea. Nesse caso, multiplicamos por
para encontrar uma solução particular:
Vamos derivar para substituir na equação:
Substituindo
e suas derivadas na equação:
Simplificando:
Portanto:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.