Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: y'' - 4y' + 4y = 2e^(2x) + x/2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo:
Conteúdo envolvido: Para resolver essa equação, vamos usar o método das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisaremos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular para o lado direito não homogêneo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Teoria aplicada: Para resolver essa equação, encontramos a equação característica, que nos ajuda a determinar a forma da solução geral.

Passo 3

A equação característica para a equação homogênea é:
Explicação: Substituímos y, , e por r, , etc., para formar essa equação quadrática.

Passo 4

Vamos resolver a equação característica:
Calculando o discriminante ( Delta):
Interpretando: Como o discriminante é zero, a equação tem raízes reais e iguais.

Passo 5

Encontrando as raízes:
Então, temos uma raiz dupla .

Passo 6

Solução da equação homogênea: Quando temos raízes reais e iguais, a solução geral é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 7

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para o lado direito não homogêneo da equação:
Teoria aplicada: Usamos o método da variação dos parâmetros ou coeficientes indeterminados. Vamos separar em duas partes e encontrar soluções particulares para cada uma.

Passo 8

Primeiro, consideramos o termo . Observamos que já está na solução homogênea, então precisamos multiplicar por x para obter uma forma linearmente independente.
Assumimos:
Onde A é uma constante a ser determinada.

Passo 9

Segundo, para o termo , que é um polinômio de grau 1, assumimos uma solução particular da forma:
Onde B e C são constantes a serem encontradas.

Passo 10

A solução particular total é a soma das duas partes:

Passo 11

Vamos derivar para encontrar e :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 12

Substituindo , e na equação original:
Substituindo os valores:

Passo 13

Simplificando os termos:
  • Coeficientes de :
  • Coeficientes de :
  • Coeficientes de :
  • Termos constantes:
  • Termos lineares em x:

Passo 14

Igualando os coeficientes:
  1. Para :
  2. Para termos constantes:
  3. Para termos lineares em x:
Então,

Passo 15

Agora, temos os valores encontrados:
Portanto, a solução particular é:

Passo 16

Solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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