Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo:
Conteúdo envolvido: Para resolver essa equação, vamos usar o método das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisaremos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular para o lado direito não homogêneo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Teoria aplicada: Para resolver essa equação, encontramos a equação característica, que nos ajuda a determinar a forma da solução geral.
Passo 3
A equação característica para a equação homogênea é:
Explicação: Substituímos
,
, e
por
,
, etc., para formar essa equação quadrática.
Passo 4
Vamos resolver a equação característica:
Calculando o discriminante (
):
Interpretando: Como o discriminante é zero, a equação tem raízes reais e iguais.
Passo 5
Encontrando as raízes:
Então, temos uma raiz dupla
.
Passo 6
Solução da equação homogênea: Quando temos raízes reais e iguais, a solução geral é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 7
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para o lado direito não homogêneo da equação:
Teoria aplicada: Usamos o método da variação dos parâmetros ou coeficientes indeterminados. Vamos separar em duas partes e encontrar soluções particulares para cada uma.
Passo 8
Primeiro, consideramos o termo
. Observamos que
já está na solução homogênea, então precisamos multiplicar por
para obter uma forma linearmente independente.
Assumimos:
Onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 9
Segundo, para o termo
, que é um polinômio de grau 1, assumimos uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 10
A solução particular total é a soma das duas partes:
Passo 11
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 12
Substituindo
,
e
na equação original:
Substituindo os valores:
Passo 13
Simplificando os termos:
-
Coeficientes de
:
-
Coeficientes de
:
-
Coeficientes de
:
-
Termos constantes:
-
Termos lineares em
:
Passo 14
Igualando os coeficientes:
-
Para
:
-
Para termos constantes:
-
Para termos lineares em
:
Então,
Passo 15
Agora, temos os valores encontrados:
Portanto, a solução particular é:
Passo 16
Solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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