Qual resultado das expressões abaixo é menor?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão apresenta cinco expressões diferentes envolvendo a variável
:
a)
b)
c)
d)
e)
O objetivo é descobrir qual dessas expressões resulta no menor valor para um determinado
. Para resolver isso, vamos precisar entender como diferentes potências de
se comportam dependendo do valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é a mesma coisa que
e
é a raiz cúbica de
. Essas expressões representam potências de
com expoentes fracionários e inteiros.
Passo 3
Agora, vamos considerar diferentes intervalos para
porque o comportamento das potências pode mudar dependendo se
é maior ou menor que 1.
-
Se
: - Quanto maior o expoente, maior será o valor da expressão. Então,
.
- Quanto maior o expoente, maior será o valor da expressão. Então,
-
Se
: - Aqui, quanto maior o expoente, menor será o valor da expressão. Então,
.
- Aqui, quanto maior o expoente, menor será o valor da expressão. Então,
Passo 4
Vamos entender por quê isso acontece.
-
Para
: Quando você eleva um número maior que 1 a uma potência maior, o resultado cresce rapidamente. Por exemplo, se , então e . -
Para
: Nesse caso, elevar a uma potência maior o torna menor. Por exemplo, se , então e .
Passo 5
Portanto, dependendo do valor de
, a expressão que resulta no menor valor muda.
-
Se
: A menor expressão é . -
Se
: A menor expressão é .
Passo 6
Resumindo, para determinar qual expressão é a menor, precisamos analisar o intervalo em que
se encontra.
Resposta
A expressão que resulta no menor valor depende do intervalo de
:
-
Para
, a menor expressão é . -
Para
, a menor expressão é .