Qual resultado das expressões abaixo é menor?
a) x
b) raizx
c) x^13
d) x^2
e) x^3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão apresenta cinco expressões diferentes envolvendo a variável :
a)
b)
c)
d)
e)
O objetivo é descobrir qual dessas expressões resulta no menor valor para um determinado . Para resolver isso, vamos precisar entender como diferentes potências de se comportam dependendo do valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é a mesma coisa que e é a raiz cúbica de . Essas expressões representam potências de com expoentes fracionários e inteiros.

Passo 3

Agora, vamos considerar diferentes intervalos para porque o comportamento das potências pode mudar dependendo se é maior ou menor que 1.
  • Se :
    • Quanto maior o expoente, maior será o valor da expressão. Então, .
  • Se :
    • Aqui, quanto maior o expoente, menor será o valor da expressão. Então, .

Passo 4

Vamos entender por quê isso acontece.
  • Para : Quando você eleva um número maior que 1 a uma potência maior, o resultado cresce rapidamente. Por exemplo, se , então e .
  • Para : Nesse caso, elevar a uma potência maior o torna menor. Por exemplo, se , então e .

Passo 5

Portanto, dependendo do valor de , a expressão que resulta no menor valor muda.
  • Se : A menor expressão é .
  • Se : A menor expressão é .

Passo 6

Resumindo, para determinar qual expressão é a menor, precisamos analisar o intervalo em que se encontra.

Resposta

A expressão que resulta no menor valor depende do intervalo de :
  • Para , a menor expressão é .
  • Para , a menor expressão é .

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