Dada a equação 6 x^4+12 x^3-12 x^2+12 x-18=0 e sabendo-se que i é a raiz complexa dessa equação, pode-se afirmar que as outras três raízes dessa equação são:
(A) -3,-1 e-2 i
(B) 3,1 e-2 i
© 3,-1 e-3 i
(D) -3,1 e-3 i
(E -3,1 e-i

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a equação e nos diz que (a unidade imaginária) é uma das raízes dessa equação. O que precisamos fazer é encontrar as outras três raízes dessa equação de quarto grau. Para isso, vamos usar conceitos de equações polinomiais, propriedades das raízes complexas e fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, lembra que se uma equação com coeficientes reais tem uma raiz complexa, o seu conjugado também é raiz. Então, se é raiz, também vai ser. Assim, já temos duas raízes: e .

Passo 3

Agora, sabendo que 6(x^2 + 1)(x^2 + ax + b) = 0 e são raízes, podemos fatorar parte da equação usando esses valores. A gente sabe que . Então, a equação original pode ser escrita como:
onde e são números que vamos descobrir para completar a fatoração.

Passo 4

Para encontrar 6x^4 + 12x^3 - 12x^2 + 12x - 18 div (x^2 + 1) = 6x^2 + 12x - 18 e 6(x^2 + 1)(x^2 + 2x - 3) = 0 , vamos dividir o polinômio original pelo fator . Ou seja, vamos dividir por .
Fazendo essa divisão, temos:
Então, a equação fatorada fica:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a equação quadrática x = -b pm raizb^2 - 4ac2a para encontrar as outras raízes reais. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
x = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-3)2 cdot 1 = -2 pm raiz4 + 122 = -2 pm raiz162
Aqui, x = -2 pm 42 , x = 22 = 1 e x = -62 = -3 e . Substituindo:
Assim, as soluções são:

Resposta

As outras três raízes dessa equação são , e . Portanto, a resposta correta é a opção (E) , e .

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