Resultados experimentais mostram que elementos radioativos desintegram a uma taxa proporcional à quantidade presente do elemento. Se Q=Q(t) é a quantidade presente de certo elemento radioativo no instante t , então a taxa de variação de Q(t) com respeito ao tempo t , denotada por , é dada por dQ/dt = -k * Q(t), onde k é uma constante que depende do elemento. O valor da constante k de um elemento radioativo pode ser determinado através do tempo de meia-vida do elemento. A meia-vida é o tempo necessário para desintegrar metade da quantidade do elemento. Portanto, se a meia-vida do elemento for conhecida, a constante k pode ser obtida e vice-versa.
Um isótopo radioativo tem uma meia-vida de 16 dias. Você deseja ter 30 g do isótopo no final de 30 dias. Calcule a quantidade inicial do isótopo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe que elementos radioativos se desintegram de uma forma proporcional à quantidade que tem. Isso significa que a taxa de desintegração depende diretamente da quantidade presente. A matéria que vamos usar é sobre decaimento radioativo e equações diferenciais simples. Precisamos descobrir a quantidade inicial de isótopo que, após 30 dias, restará 30 gramas, sabendo que a meia-vida desse isótopo é de 16 dias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica do decaimento radioativo. A equação que descreve isso é:
Aqui, é a quantidade do isótopo no tempo e é a constante de decaimento que depende do elemento.

Passo 3

A solução dessa equação diferencial é uma função exponencial. Integrando, obtemos:
Onde é a quantidade inicial do isótopo que queremos encontrar.

Passo 4

Agora, precisamos relacionar a constante com a meia-vida ( ). Sabemos que na meia-vida, a quantidade de isótopo cai para metade. Então, substituindo e :
Dividindo ambos os lados por :
Para resolver para , tiramos o logaritmo natural dos dois lados:
Substituindo dias:

Passo 5

Agora, voltamos à equação geral:
Sabemos que após 30 dias ( dias), queremos que gramas. Vamos substituir os valores que temos:
Calculando o exponencial:
Então:

Resposta

Resolvendo para :
Portanto, a quantidade inicial do isótopo deve ser aproximadamente 109,89 gramas.

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