Usando o critério da integral, determine a convergência de:
Passo 1
Vamos analisar a série
. Nosso objetivo é determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Critério da Integral, que nos ajuda a decidir a convergência de séries cujos termos são positivos e decrescentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos associar a série a uma função contínua, positiva e decrescente. Consideramos a função
para
. Essa função é contínua, positiva e decrescente nesse intervalo, o que nos permite aplicar o Critério da Integral.
Passo 3
Agora, aplicamos o Critério da Integral. Isso significa que vamos calcular a integral imprópria de
de 2 até o infinito:
Passo 4
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar
, então
. Precisamos ajustar a integral para essa substituição:
Parece que precisamos de uma abordagem diferente. Observando a integral original:
Podemos ver que
decai mais rápido que
, mas vamos resolver a integral para ter certeza.
Passo 5
Vamos tentar resolver a integral diretamente. Sabemos que:
Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
. Substituindo na integral:
Mas como
, então
. Substituindo:
Essa integral não possui uma antiderivada elementar, mas podemos analisar seu comportamento para determinar a convergência.
Passo 6
Observamos que, para
grande,
cresce mais lentamente que qualquer potência de
. A integral:
é semelhante a
, que sabemos que converge, já que a integral de
converge para
.
Passo 7
Como
é menor que
para
e
converge, pelo Critério da Comparação, nossa integral também converge.
Resposta
A série
converge.