Usando o critério da integral, determine a convergência de:
sumk=2^infty 1k^2 ln k

Passo 1

Vamos analisar a série . Nosso objetivo é determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Critério da Integral, que nos ajuda a decidir a convergência de séries cujos termos são positivos e decrescentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos associar a série a uma função contínua, positiva e decrescente. Consideramos a função para . Essa função é contínua, positiva e decrescente nesse intervalo, o que nos permite aplicar o Critério da Integral.

Passo 3

Agora, aplicamos o Critério da Integral. Isso significa que vamos calcular a integral imprópria de integral2^infty 1x^2 ln x , dx de 2 até o infinito:

Passo 4

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar integral 1x^2 ln x , dx = integral 1x cdot x ln x , dx = integral 1x cdot u cdot x , du = integral 1u cdot 1x dx , então integral2^infty 1x^2 ln x , dx . Precisamos ajustar a integral para essa substituição:
Parece que precisamos de uma abordagem diferente. Observando a integral original:
Podemos ver que decai mais rápido que , mas vamos resolver a integral para ter certeza.

Passo 5

Vamos tentar resolver a integral diretamente. Sabemos que:
integral 1x^2 ln x , dx
Fazendo a substituição integral 1x^2 u cdot x , du = integral 1x u , du , então integral 1e^u cdot u , du = integral 1u e^u , du , ou seja, . Substituindo na integral:
Mas como , então . Substituindo:
Essa integral não possui uma antiderivada elementar, mas podemos analisar seu comportamento para determinar a convergência.

Passo 6

Observamos que, para integral2^infty 1x^2 ln x , dx grande, cresce mais lentamente que qualquer potência de . A integral:
é semelhante a , que sabemos que converge, já que a integral de converge para .

Passo 7

Como é menor que para e converge, pelo Critério da Comparação, nossa integral também converge.

Resposta

A série converge.

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