Usando o critério da integral, determine a convergência de:
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a série infinita e queremos saber se ela converge ou diverge usando o teste da integral. Para isso, vamos precisar definir uma função contínua, positiva e decrescente que corresponda aos termos da série e então calcular a integral dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que representa os termos da série. Seja para . Essa função é contínua, positiva e decrescente nesse intervalo, o que atende aos requisitos para aplicar o teste da integral.
Passo 3
Agora, aplicamos o teste da integral. Precisamos calcular a integral imprópria de de 2 até o infinito:
Passo 4
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Deixe , então . Isso simplifica a integral para:
Essa integral é equivalente a:
Ao calcular os limites, vemos que tende ao infinito quando tende ao infinito.
Passo 5
Como a integral diverge (tende ao infinito), pelo teste da integral, a série original também diverge.