Usando o critério da integral, determine a convergência de:
sumk=2^infty 1k raizln k

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a série infinita e queremos saber se ela converge ou diverge usando o teste da integral. Para isso, vamos precisar definir uma função contínua, positiva e decrescente que corresponda aos termos da série e então calcular a integral dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que representa os termos da série. Seja para . Essa função é contínua, positiva e decrescente nesse intervalo, o que atende aos requisitos para aplicar o teste da integral.

Passo 3

Agora, aplicamos o teste da integral. Precisamos calcular a integral imprópria de integral2^infty 1x raizln x , dx de 2 até o infinito:

Passo 4

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Deixe integralln 2^infty 1raizu , du , então integralln 2^infty u^-1/2 , du = 2 raizu g|ln 2^infty . Isso simplifica a integral para:
Essa integral é equivalente a:
Ao calcular os limites, vemos que tende ao infinito quando tende ao infinito.

Passo 5

Como a integral diverge (tende ao infinito), pelo teste da integral, a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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