Usando o critério para série alternada, mostre a convergência de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a série
converge usando o Critério da Série Alternada.
O que é o Critério da Série Alternada? É um método que a gente usa para determinar se uma série que alterna sinais (positivos e negativos) converge. Para aplicar esse critério, precisamos verificar duas coisas:
- Os termos em módulo (ignoring os sinais) devem diminuir monotonamente.
- O limite dos termos em módulo deve ser zero.
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa série. Temos:
e os sinais alternam por causa de
.
Precisamos verificar se
é positivo, decrescente e se tende a zero quando
cresce.
Passo 3
Vamos ver se
é positivo.
Sabemos que para
,
está entre 0 e 1. O seno de um número positivo nesse intervalo também é positivo. Então,
para todo
.
Passo 4
Agora, vamos checar se
está diminuindo quando
aumenta.
Observamos que, quando
aumenta,
diminui. Como a função seno é crescente no intervalo
, se
diminui,
também diminui. Portanto,
é uma sequência decrescente.
Passo 5
Por último, precisamos ver o que acontece com
quando
tende ao infinito.
Sabemos que
tende a 0 quando
tende ao infinito. E
. Portanto:
Resposta
Como os termos
são positivos, decrescentes e tendem a zero quando
cresce, pelo Critério da Série Alternada, a série
converge.