Usando o critério para série alternada, mostre a convergência de:
sumk=1^infty(-1)^k sen 1k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a série converge usando o Critério da Série Alternada.
O que é o Critério da Série Alternada? É um método que a gente usa para determinar se uma série que alterna sinais (positivos e negativos) converge. Para aplicar esse critério, precisamos verificar duas coisas:
  1. Os termos em módulo (ignoring os sinais) devem diminuir monotonamente.
  2. O limite dos termos em módulo deve ser zero.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa série. Temos:
ak = sin 1k
e os sinais alternam por causa de .
Precisamos verificar se é positivo, decrescente e se tende a zero quando cresce.

Passo 3

Vamos ver se é positivo.
Sabemos que para , está entre 0 e 1. O seno de um número positivo nesse intervalo também é positivo. Então, para todo .

Passo 4

Agora, vamos checar se está diminuindo quando aumenta.
Observamos que, quando aumenta, diminui. Como a função seno é crescente no intervalo , se diminui, também diminui. Portanto, é uma sequência decrescente.

Passo 5

Por último, precisamos ver o que acontece com limk to infty ak = limk to infty sin 1k quando limk to infty sin 1k = 0 tende ao infinito.
Sabemos que tende a 0 quando tende ao infinito. E . Portanto:

Resposta

Como os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero quando cresce, pelo Critério da Série Alternada, a série converge.

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