Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências a_n abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possivel calcule o limite da sequência. a_n = n / (la(n))^25

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência definida por e precisa descobrir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de análise de sequências, como o cálculo de limites e comparação de crescimento de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com conforme aumenta. Temos o numerador que cresce linearmente e o denominador , que cresce de forma mais lenta, já que o logaritmo cresce menos que qualquer potência de .

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
Aqui, estamos comparando o crescimento de com o de . Sabemos que, para qualquer potência de , ela cresce mais rápido que o logaritmo de elevado a qualquer potência.

Passo 4

Como cresce muito mais rápido que , o limite tende a infinito:
Isso significa que a sequência não está se aproximando de nenhum número finito.

Resposta

A sequência diverge para o infinito, pois o limite quando tende ao infinito é infinito.

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