Uma reta definida pelas equações paramétricas pode ser representada pelas equações reduzidas se . Essas equações são obtidas isolando na equação e substituindo o valor obtida nas demais. Dessa forma e ficam em função de , o qual atua como o parâmetro na equação. Para obter equações reduzidas em função de se ou (se , basta isolar o parâmetro na equação correspondente à respectiva variável. Determine equações reduzidas em função de para as seguintes retas:
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre transformar equações paramétricas de uma reta no espaço para equações reduzidas em função de . Isso é parte da geometria analítica, onde a gente descreve retas de diferentes formas. Para resolver isso, vamos precisar isolar o parâmetro na equação de e substituir esse valor nas equações de e . Assim, conseguiremos expressar e diretamente em função de .
Passo 2
Vamos resolver a parte (a):
Temos as equações paramétricas:
Passo 2.1: Primeiro, isolamos z = 1 + 2t Rightarrow t = z - 12 na equação de x = -2 + 3 ( z - 12 ) = -2 + 3(z - 1)2 = -2 + 3z - 32 = -4 + 3z - 32 = 3z - 72 :
y = 2
Passo 2.2: Agora, substituímos esse valor de x = 32z - 72 y = 2 nas equações de e :
Para :
Para :
Como é constante, ela não depende de .
Então, as equações reduzidas ficam:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b):
As equações paramétricas são:
x = 2t y = 1 - t z = 2 + 3t
Passo 3.1: Isolamos z = 2 + 3t Rightarrow t = z - 23 na equação de x = 2 ( z - 23 ) = 2(z - 2)3 = 2z - 43 = 23z - 43 :
y = 1 - ( z - 23 ) = 1 - z3 + 23 = 53 - 13z
Passo 3.2: Substituímos esse valor de x = 23z - 43 y = 53 - 13z nas equações de e :