Sobre uma elipse E, sabe-se que:
  • o centro tem coordenadas ;
  • a excentricidade é igual a 0.5 ;
  • a reta focal é paralela ao eixo ;
  • o ponto pertence a E.
    Complete:
    (b) O eixo menor mede 8,72

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre uma elipse. A gente sabe que:
  • O centro da elipse está no ponto .
  • A excentricidade da elipse é .
  • A reta focal, que é o eixo maior, é paralela ao eixo .
  • O ponto está na elipse.
Para resolver a parte (b), que pede o comprimento do eixo menor, vamos precisar usar as propriedades da elipse, como a relação entre os eixos maior e menor e a excentricidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a excentricidade ( ) de uma elipse está relacionada com os semieixos maior ( ) e menor ( ) pela fórmula:
onde é a distância do centro até cada foco, e também sabemos que:

Passo 3

Sabemos que a excentricidade , então podemos escrever:
Isso implica que .

Passo 4

Vamos usar a segunda fórmula para relacionar e :
Substituindo :
Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 5

Agora, vamos resolver para :

Passo 6

Precisamos encontrar o valor de . Para isso, vamos usar o ponto que pertence à elipse. A equação geral da elipse com centro em e eixo maior paralelo ao é:
Substituindo na equação:

Passo 7

Sabemos que , então substituindo na equação:

Passo 8

Resolvendo para :

Passo 9

Agora, voltamos para a relação entre e :

Resposta

O eixo menor mede aproximadamente unidades.

Exercícios relacionados

Determine gráfico da parábola de equação
A reta passa pelo ponto e tem uma inclinação . Determine uma equação da reta que passa pelo ponto e forma um ângulo de com a reta . resp.:
Sobre uma elipse E, sabe-se que:
  • o centro tem coordenadas ;
  • a excentricidade é igual a 0.5 ;
  • a reta focal é paralela ao eixo ;
  • o ponto pertence a E.
    Complete:
    © Se é uma equação para E, então: ,