Sobre uma elipse E, sabe-se que:
- o centro tem coordenadas
;
- a excentricidade é igual a 0.5 ;
- a reta focal é paralela ao eixo
;
- o ponto
pertence a E.
Complete:
(b) O eixo menor mede 8,72
Complete:
(b) O eixo menor mede 8,72
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre uma elipse. A gente sabe que:
- O centro da elipse está no ponto
. - A excentricidade da elipse é
. - A reta focal, que é o eixo maior, é paralela ao eixo
. - O ponto
está na elipse.
Para resolver a parte (b), que pede o comprimento do eixo menor, vamos precisar usar as propriedades da elipse, como a relação entre os eixos maior e menor e a excentricidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a excentricidade (
) de uma elipse está relacionada com os semieixos maior (
) e menor (
) pela fórmula:
onde
é a distância do centro até cada foco, e também sabemos que:
Passo 3
Sabemos que a excentricidade
, então podemos escrever:
Isso implica que
.
Passo 4
Vamos usar a segunda fórmula para relacionar
e
:
Substituindo
:
Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Passo 6
Precisamos encontrar o valor de
. Para isso, vamos usar o ponto
que pertence à elipse. A equação geral da elipse com centro em
e eixo maior paralelo ao
é:
Substituindo
na equação:
Passo 7
Sabemos que
, então substituindo na equação:
Passo 8
Resolvendo para
:
Passo 9
Agora, voltamos para a relação entre
e
:
Resposta
O eixo menor mede aproximadamente
unidades.
Exercícios relacionados
Determine gráfico da parábola de equação
A reta
passa pelo ponto
e tem uma inclinação
. Determine uma equação da reta
que passa pelo ponto
e forma um ângulo de
com a reta
. resp.:
Sobre uma elipse E, sabe-se que:
- o centro tem coordenadas
; - a excentricidade é igual a 0.5 ;
- a reta focal é paralela ao eixo
; - o ponto
pertence a E.
Complete:
© Seé uma equação para E, então: ,