Sobre uma elipse E, sabe-se que:
  • o centro tem coordenadas (-2,1);
  • a excentricidade é igual a 0.5 ;
  • a reta focal é paralela ao eixo O x;
  • o ponto (0,5) pertence a E.
    Complete:
    (b) O eixo menor mede 8,72 square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre uma elipse. A gente sabe que:
  • O centro da elipse está no ponto (-2,1).
  • A excentricidade da elipse é 0.5.
  • A reta focal, que é o eixo maior, é paralela ao eixo Ox.
  • O ponto (0,5) está na elipse.
Para resolver a parte (b), que pede o comprimento do eixo menor, vamos precisar usar as propriedades da elipse, como a relação entre os eixos maior e menor e a excentricidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a excentricidade ( e) de uma elipse está relacionada com os semieixos maior ( a) e menor ( b) pela fórmula:
e = ca
onde c é a distância do centro até cada foco, e também sabemos que:
c = raiza^2 - b^2

Passo 3

Sabemos que a excentricidade e = 0.5, então podemos escrever:
0.5 = ca
Isso implica que c = 0.5a.

Passo 4

Vamos usar a segunda fórmula para relacionar a e b:
c = raiza^2 - b^2
Substituindo c = 0.5a:
0.5a = raiza^2 - b^2
Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(0.5a)^2 = a^2 - b^2 0.25a^2 = a^2 - b^2

Passo 5

Agora, vamos resolver para b^2:
b^2 = a^2 - 0.25a^2 b^2 = 0.75a^2 b = a raiz0.75 b = a cdot raiz32

Passo 6

Precisamos encontrar o valor de a. Para isso, vamos usar o ponto (0,5) que pertence à elipse. A equação geral da elipse com centro em (-2,1) e eixo maior paralelo ao Ox é:
(x + 2)^2a^2 + (y - 1)^2b^2 = 1
Substituindo (0,5) na equação:
(0 + 2)^2a^2 + (5 - 1)^2b^2 = 1 4a^2 + 16b^2 = 1

Passo 7

Sabemos que b^2 = 0.75a^2, então substituindo na equação:
4a^2 + 160.75a^2 = 1 4a^2 + 160.75a^2 = 1 4 + 160.75a^2 = 1 4 + 21.333a^2 = 1 25.333a^2 = 1

Passo 8

Resolvendo para a^2:
a^2 = 25.333 a = raiz25.333 a approx 5.033

Passo 9

Agora, voltamos para a relação entre a e b:
b = a cdot raiz32 b approx 5.033 cdot 0.866 b approx 4.355

Resposta

O eixo menor mede aproximadamente 8,72 unidades.

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