Sabendo que , calcule os determinantes das seguintes matrizes.
b) |cccc2 & -3 & 4 & 11 7 & 6 & 14 & 2 2 & -5 & 4 & 8 a & b & 2 a & d|=
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o determinante de uma matriz 4x4 modificada a partir de uma matriz inicial cujo determinante já conhecemos. Vamos usar conceitos de determinantes e propriedades de matrizes para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um determinante. O determinante é um valor que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível. Para matrizes 4x4, o cálculo pode ser um pouco complexo, mas a gente vai simplificar usando propriedades de determinantes.
Passo 3
Observando a matriz original e a matriz modificada, percebemos que algumas entradas foram alteradas. Na matriz original, a terceira entrada da segunda linha é 1, e na matriz modificada essa entrada mudou para 14. Além disso, na última linha, a terceira entrada mudou de para .
Passo 4
Vamos usar uma propriedade dos determinantes que diz que se multiplicarmos uma coluna de uma matriz por um escalar, o determinante da nova matriz será o determinante original multiplicado por esse escalar. No nosso caso, a terceira coluna sofreu alterações.
Passo 5
Primeiro, vamos identificar quanto a terceira coluna foi multiplicada. A entrada mudou de 1 para 14 na segunda linha, o que significa que foi multiplicada por 14. Da mesma forma, na última linha, a entrada mudou de para . Portanto, a terceira coluna foi multiplicada por 2.
Passo 6
Agora, aplicando a propriedade dos determinantes, sabemos que se multiplicarmos uma coluna por um escalar, o determinante da nova matriz será o determinante original multiplicado por esse escalar. Assim, multiplicando a terceira coluna por 14 na segunda linha e por 2 na última linha, temos:
Novo Determinante = 14 times 2 times Determinante Original
Passo 7
Sabemos que o determinante original é -1470. Substituindo na fórmula: