A reta r passa pelo ponto A=(4,2) e é paralela a reta s:lx=1+3 t y=3-t. Determine k de forma que P=(k,-5) in r.

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma reta s: l x = 1 + 3t y = 3 - t que passa pelo ponto e é paralela à reta dada pelas equações paramétricas:
Nosso objetivo é encontrar o valor de tal que o ponto pertença à reta . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas paralelas e equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a reta x = 1 + 3t y = 3 - t é paralela à reta . Retas paralelas têm a mesma direção, ou seja, seus vetores diretores são iguais ou proporcionais. A reta tem as equações paramétricas:
Aqui, o vetor diretor de é .

Passo 3

Como a reta x = 4 + 3t y = 2 - t é paralela à reta , ela também terá o mesmo vetor diretor . Sabendo que a reta passa pelo ponto , podemos escrever as equações paramétricas de :
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta .

Passo 4

Queremos que o ponto x = 4 + 3t = k y = 2 - t = -5 esteja na reta . Isso significa que há algum valor de que satisfaz as duas equações de para e .
Vamos igualar as componentes:

Passo 5

Primeiro, resolvemos a segunda equação para encontrar 2 - t = -5 -t = -5 - 2 -t = -7 t = 7 :

Passo 6

Agora que encontramos k = 4 + 3t = 4 + 3 times 7 = 4 + 21 = 25 , substituímos esse valor na primeira equação para encontrar :

Resposta

O valor de é .

Exercícios relacionados

Determine a equação reduzida da reta r que passa pelos pontos A=(2,-3) e B=(-1,2) e verifique se os pontos C=(4,-3) e D=(5,-8) pertencem a r.
Determine a equação reduzida e represente graficamente a reta que passa pelo pontos A e B nos seguintes casos:
(b) A=(-1,2) e B=(0,3)
Determine uma equação da reta paralela à reta y=-2 x+5 :
(a) passando pela origem
Determine as equações paramétricas e represente graficamente a reta que passa pelos pontos:
(a) A=(1,2) e B=(1,0)