da reta tongente à curria
Y=3x no ponto P=(3,1).
Solucão : m=lim f(3+h)-f(3)h,
Rightarrow lim h 0 33+h-1h Rightarrow 3-(3+h)3+h
3-(3+h)3+hh1
$\frac{\lim \frac{-h}{3+h}}{\frac{h}{1}} \Rightarrow \frac{h}{h(3+h)} \Rightarrow $
lim -h3+hh1 Rightarrow hh(3+h) Rightarrow
Rightarrow lim h 0 d x-13+h=-13

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto é a reta que toca a curva exatamente naquele ponto e tem a mesma inclinação da curva nesse ponto. Ou seja, precisamos encontrar a inclinação da curva em .

Passo 3

Para encontrar essa inclinação, vamos calcular a derivada da função Y' = ddx(3x) . A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a , ou seja, a inclinação da curva em qualquer ponto .
A derivada de em relação a é:

Passo 4

Resolvendo a derivada:
Y' = ddx(3x^-1) = 3 cdot (-1)x^-2 = -3x^2
Então, a expressão para a derivada é .

Passo 5

Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto Y'(3) = -3(3)^2 = -39 = -13 . Substituímos na derivada:
Portanto, a inclinação da reta tangente nesse ponto é .

Passo 6

Com a inclinação y - y1 = m(x - x1) e o ponto y - 1 = -13(x - 3) , podemos usar a fórmula da equação da reta:
onde .
Substituindo:

Passo 7

Agora, vamos simplificar a equação para a forma comum da reta:
y - 1 = -13x + 1
y = -13x + 2

Resposta

A equação da reta tangente à curva y = -13x + 2 no ponto é:

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