Seja f: R -> R derivável e seja g dada por g(x) = f(e^(2x)). Supondo f(1) = 2, calcule g'(0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é derivável, ou seja, tem derivada em todos os pontos reais. A função é definida como . A gente precisa calcular a derivada de no ponto , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada e a regra da cadeia, que é super importante quando a gente tem funções compostas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como está construída. Ela é uma função composta, porque dentro da função a gente tem . A regra da cadeia nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 3

A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é . No nosso caso, , então para derivar , a gente precisa:
  1. Derivar em relação ao seu argumento, que é .
  2. Multiplicar pela derivada de em relação a .

Passo 4

Vamos aplicar a regra da cadeia:
Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a .

Passo 5

A derivada de é:
Então, substituindo de volta na expressão de :

Passo 6

Agora, queremos calcular . Vamos substituir na expressão que encontramos:
Simplificando:

Resposta

Portanto, .

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