Suponha que z=x / y, onde x e y são funções diferenciáveis de u e v tais que x=3, y=1, partial x / partial u=4, partial x / partial v=-2, partial y / partial u=1 e partial y / partial v=-1 quando u=2 e v=1. Se u=2 e v=1, então partial z / partial u= e partial z / partial v= cdot

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, mais especificamente, derivadas parciais de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar usar a regra do quociente para derivadas e aplicar as informações que foram dadas sobre , e suas derivadas parciais quando e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a derivada de partial zpartial u = partial xpartial u cdot y - x cdot partial ypartial uy^2 em relação a uma variável, digamos partial zpartial v = partial xpartial v cdot y - x cdot partial ypartial vy^2 . Usamos a regra do quociente, que diz:
A mesma coisa vale para a derivada em relação a :

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que foram fornecidos no enunciado para e :

Passo 4

Primeiro, vamos calcular partial zpartial u = 4 cdot 1 - 3 cdot 11^2 = 4 - 31 = 1 :

Passo 5

Agora, vamos calcular partial zpartial v = (-2) cdot 1 - 3 cdot (-1)1^2 = -2 + 31 = 1 :

Resposta

Quando partial zpartial u = 1 e partial zpartial v = 1 e , temos:

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