Suponha que
, onde
e
são funções diferenciáveis de
e
tais que
e
quando
e
. Se
e
, então
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, mais especificamente, derivadas parciais de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar usar a regra do quociente para derivadas e aplicar as informações que foram dadas sobre
,
e suas derivadas parciais quando
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a derivada de
em relação a uma variável, digamos
. Usamos a regra do quociente, que diz:
A mesma coisa vale para a derivada em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores que foram fornecidos no enunciado para
e
:
Passo 4
Primeiro, vamos calcular
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Resposta
Quando
e
, temos:
Exercícios relacionados
Fatore as expressões.
.
Um retângulo está crescendo de tal modo que, quando seu comprimento mede 5 cm e sua largura mede 2 cm , o comprimento está crescendo a uma taxa de
e a largura está crescendo a uma taxa de
. Nesse instante, a área do retângulo está crescendo a uma taxa de
.
Fatore as expressões.
.
Use formas apropriadas da regra da cadeia para encontrar as derivadas.
a) Seja . Encontre
e
;
b) Sejam . Encontre
e
;
c) Seja , onde
. Encontre
e
;
d) Seja . Determine
e
a) Seja
b) Sejam
c) Seja
d) Seja