Suponha que z=x / y, onde x e y são funções diferenciáveis de u e v tais que x=3, y=1, partial x / partial u=4, partial x / partial v=-2, partial y / partial u=1 e partial y / partial v=-1 quando u=2 e v=1. Se u=2 e v=1, então partial z / partial u= e partial z / partial v= cdot

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, mais especificamente, derivadas parciais de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar usar a regra do quociente para derivadas e aplicar as informações que foram dadas sobre , e suas derivadas parciais quando e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a derivada de partial zpartial u = partial xpartial u cdot y - x cdot partial ypartial uy^2 em relação a uma variável, digamos partial zpartial v = partial xpartial v cdot y - x cdot partial ypartial vy^2 . Usamos a regra do quociente, que diz:
A mesma coisa vale para a derivada em relação a :

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que foram fornecidos no enunciado para e :

Passo 4

Primeiro, vamos calcular partial zpartial u = 4 cdot 1 - 3 cdot 11^2 = 4 - 31 = 1 :

Passo 5

Agora, vamos calcular partial zpartial v = (-2) cdot 1 - 3 cdot (-1)1^2 = -2 + 31 = 1 :

Resposta

Quando partial zpartial u = 1 e partial zpartial v = 1 e , temos:

Exercícios relacionados

Fatore as expressões.
x y z + 2 x y + 3 x.
Um retângulo está crescendo de tal modo que, quando seu comprimento mede 5 cm e sua largura mede 2 cm , o comprimento está crescendo a uma taxa de 3 cm/s e a largura está crescendo a uma taxa de 4 cm/s. Nesse instante, a área do retângulo está crescendo a uma taxa de \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 .
Fatore as expressões.
x^2 - y^2.
Use formas apropriadas da regra da cadeia para encontrar as derivadas.
a) Seja T=x^2 y-x y^3+2 ; x=r cos theta, y=r sen theta. Encontre partial T / partial r e partial T / partial theta;
b) Sejam t=u / v ; u=x^2-y^2, v=4 x y^3. Encontre partial t / partial x e partial t / partial y;
c) Seja z=ln (x^2+1), onde x=r cos theta. Encontre partial z / partial r e partial z / partial theta;
d) Seja w=4 x^2+4 y^2+z^2, x=rho sen theta cos varphi, y=rho sen varphi sen theta, z=rho cos varphi. Determine partial w / partial rho, partial w / partial varphi e partial w / partial theta