Seja o domínio limitado por tal que e . Determine

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um domínio no espaço tridimensional limitado pela esfera , além das condições e . A tarefa é calcular a integral tripla:
Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas, que facilitam trabalhar com esferas e simetrias radiais.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, temos:
E o volume diferencial é dado por:
Vamos usar essas expressões para mudar nossa integral para coordenadas esféricas.

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração. A esfera em coordenadas esféricas é .
As condições significam que estamos no primeiro octante, então:
Agora, precisamos interpretar a condição . Em coordenadas esféricas, isso fica:
Então, o limite superior para é .

Passo 4

Agora, podemos escrever a integral em coordenadas esféricas:
Simplificando a expressão:

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeiro, a integral em :
Segundo, a integral em :
Podemos usar a substituição , então :
Sabemos que , então:
Portanto:
Finalmente, a integral em :

Resposta

Multiplicando todas as partes:
Então, o valor da integral é .

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