Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um domínio no espaço tridimensional limitado pela esfera , além das condições e . A tarefa é calcular a integral tripla:
Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas, que facilitam trabalhar com esferas e simetrias radiais.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, temos:
E o volume diferencial é dado por:
dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Vamos usar essas expressões para mudar nossa integral para coordenadas esféricas.
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração. A esfera 0 <= theta <= pi2 em coordenadas esféricas é 0 <= phi <= pi2 .
As condições 4(rho sin phi cos theta)^2 + 4(rho sin phi sin theta)^2 <= (rho cos phi)^2 significam que estamos no primeiro octante, então: