Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um domínio no espaço tridimensional limitado pela esfera , além das condições e . A tarefa é calcular a integral tripla:
Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas, que facilitam trabalhar com esferas e simetrias radiais.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, temos:
E o volume diferencial é dado por:
Vamos usar essas expressões para mudar nossa integral para coordenadas esféricas.
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração. A esfera em coordenadas esféricas é .
As condições significam que estamos no primeiro octante, então:
Agora, precisamos interpretar a condição . Em coordenadas esféricas, isso fica:
Então, o limite superior para é .
Passo 4
Agora, podemos escrever a integral em coordenadas esféricas: