Seja D subseteq R^3 o domínio limitado por x^2+y^2+z^2=4 tal que 4 x^2+4 y^2 <= z^2 e x, y, z >= 0. Determine
integral triplaD z d x d y d z

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um domínio integral triplaD z , dx , dy , dz no espaço tridimensional limitado pela esfera , além das condições e . A tarefa é calcular a integral tripla:
Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas, que facilitam trabalhar com esferas e simetrias radiais.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, temos:
x = rho sin phi cos theta y = rho sin phi sin theta z = rho cos phi
E o volume diferencial é dado por:
dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Vamos usar essas expressões para mudar nossa integral para coordenadas esféricas.

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração. A esfera 0 <= theta <= pi2 em coordenadas esféricas é 0 <= phi <= pi2 .
As condições 4(rho sin phi cos theta)^2 + 4(rho sin phi sin theta)^2 <= (rho cos phi)^2 significam que estamos no primeiro octante, então:
4rho^2 sin^2 phi (cos^2 theta + sin^2 theta) <= rho^2 cos^2 phi
4 sin^2 phi <= cos^2 phi
Agora, precisamos interpretar a condição 4 tan^2 phi <= 1 . Em coordenadas esféricas, isso fica:
tan phi <= 12
phi <= arctan(12)
Então, o limite superior para é .

Passo 4

Agora, podemos escrever a integral em coordenadas esféricas:
integral triplaD z , dx , dy , dz = integral0^2 integral0^arctan(12) integral0^pi2 (rho cos phi) cdot rho^2 sin phi , dtheta , dphi , drho
Simplificando a expressão:
integral0^2 rho^3 , drho integral0^arctan(12) cos phi sin phi , dphi integral0^pi2 dtheta

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeiro, a integral em integral0^pi2 dtheta = pi2 :
integral0^arctan(12) cos phi sin phi , dphi
Segundo, a integral em integral0^arctan(12) u , du = u^22 |0^arctan(12) :
= sin^2(arctan(12))2
Podemos usar a substituição sin(arctan(12)) = 12raiz1 + (12)^2 = 12 cdot 1raiz54 = 1raiz5 , então sin^2(arctan(12))2 = (1raiz5)^22 = 110 :
integral0^2 rho^3 , drho = rho^44 |0^2 = 164 = 4
Sabemos que , então:
Portanto:
Finalmente, a integral em :

Resposta

Multiplicando todas as partes:
4 times 110 times pi2 = 4 pi20 = pi5
Então, o valor da integral é .

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