Uma roda gigante de raio
está fixada com centro a
do solo. Enquanto se divertia com os movimentos da roda, num determinado momento 0 assento de Sophia estava a
do sólo, com velocidade vertical
. Neste caso, pode-se deduzir que o tempo gasto para completar uma volta é
i.
ii.
iii.
iv.
v.
i.
ii.
iii.
iv.
v.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem uma roda gigante com raio $ R $ que está fixada a $ 2R $ de altura do chão. Num certo momento, o assento da Sophia está a $ \frac{7}{3} R $ do solo e tem uma velocidade vertical de $ \alpha $ metros por minuto. Precisamos descobrir quanto tempo ela leva para completar uma volta inteira na roda gigante. Para isso, vamos usar conceitos de movimento circular e velocidade angular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a posição do assento da Sophia. A roda gigante tem raio $ R $ e está a $ 2R $ do chão, então o centro da roda está a $ 2R $ do solo. Quando o assento está a $ \frac{7}{3} R $ do chão, podemos calcular a altura adicional acima do centro da roda.
A altura total $ y $ do assento em relação ao centro da roda é:
Isso significa que o assento está $ \frac{1}{3} R $ acima do centro da roda nessa posição.
Passo 3
Agora, vamos relacionar a velocidade vertical $ \alpha $ com a velocidade angular $ \omega $ da roda gigante. Sabemos que em movimentos circulares, a velocidade vertical de um ponto na roda é dada por:
onde $ \theta $ é o ângulo em relação à posição mais baixa da roda.
Na posição atual, temos $ v_y = \alpha $, então:
Passo 4
Precisamos encontrar $ \cos(\theta) $. Como o assento está $ \frac{1}{3} R $ acima do centro, podemos usar a relação trigonométrica:
Passo 5
Substituindo $ \cos(\theta) $ na equação da velocidade:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o período $ T $ da roda gigante, que é o tempo para completar uma volta. Sabemos que:
Substituindo $ \omega $:
Resposta
O tempo gasto para completar uma volta é:
Alternativa i.