Uma roda gigante de raio R está fixada com centro a 2 R do solo. Enquanto se divertia com os movimentos da roda, num determinado momento 0 assento de Sophia estava a 73 R do sólo, com velocidade vertical alpha m / min. Neste caso, pode-se deduzir que o tempo gasto para completar uma volta é
i. 4 pi raiz23 Ralpha
ii. 4 pi raiz33 Ralpha
iii. pi raiz23 Ralpha
iv. 2 pi raiz23 Ralpha
v. 3 pi raiz24 Ralpha

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem uma roda gigante com raio $ R $ que está fixada a $ 2R $ de altura do chão. Num certo momento, o assento da Sophia está a $ \frac{7}{3} R $ do solo e tem uma velocidade vertical de $ \alpha $ metros por minuto. Precisamos descobrir quanto tempo ela leva para completar uma volta inteira na roda gigante. Para isso, vamos usar conceitos de movimento circular e velocidade angular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição do assento da Sophia. A roda gigante tem raio $ R $ e está a $ 2R $ do chão, então o centro da roda está a $ 2R $ do solo. Quando o assento está a $ \frac{7}{3} R $ do chão, podemos calcular a altura adicional acima do centro da roda.
A altura total $ y $ do assento em relação ao centro da roda é:
R
Isso significa que o assento está $ \frac{1}{3} R $ acima do centro da roda nessa posição.

Passo 3

Agora, vamos relacionar a velocidade vertical $ \alpha $ com a velocidade angular $ \omega $ da roda gigante. Sabemos que em movimentos circulares, a velocidade vertical de um ponto na roda é dada por:
alpha
onde $ \theta $ é o ângulo em relação à posição mais baixa da roda.
Na posição atual, temos $ v_y = \alpha $, então:
omega

Passo 4

Precisamos encontrar $ \cos(\theta) $. Como o assento está $ \frac{1}{3} R $ acima do centro, podemos usar a relação trigonométrica:
cos(theta)
13 R

Passo 5

Substituindo $ \cos(\theta) $ na equação da velocidade:
cos(theta)
alpha = omega R cdot 2raiz23

Passo 6

Agora, vamos encontrar o período $ T $ da roda gigante, que é o tempo para completar uma volta. Sabemos que:
T
Substituindo $ \omega $:
T = 2piomega

Resposta

O tempo gasto para completar uma volta é:
T = 4 pi raiz23 Ralpha
Alternativa i.

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